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Graphenalgorithmen

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Zusammenfassung

In vielen Anwendungen ist man an kürzesten Wegen in einem gewichteten Graphen interessiert. Dabei betrachtet man einerseits Wege von einem Startknoten zu einem Zielknoten und andererseits kürzeste Wege zwischen allen Paaren von Knoten. In diesem Kapitel betrachten wir klassische Graphenalgorithmen zur Lösung solcher Probleme. Ferner befassen wir uns mit Netzwerkflussproblemen und Matchingproblemen.

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Abb. 5.1

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Correspondence to Helmut Harbrecht .

Übungsaufgaben

Übungsaufgaben

Aufgabe 5.1

(Dijkstra-Algorithmus) Gegeben sei der folgende, ungerichtete Graph:

figure u

Berechnen Sie mittels des Dijkstra-Algorithmus schrittweise die Abstände von a zu allen anderen Knoten. Wie lautet der kürzeste Weg von a nach \(\ell \)?

Aufgabe 5.2

(Moore-Bellmann-Ford-Algorithmus) Berechnen Sie ausgehend vom Knoten \(s=1\) durch Anwendung des Algorithmus von Moore, Bellmann und Ford die kürzesten Wege zu allen anderen Knoten in folgendem Graphen:

figure v

Füllen Sie dazu eine Tabelle aus, in der zu jedem Knoten sein Vorgänger sowie die Distanz vom Startknoten verzeichnet sind.

Aufgabe 5.3

(Edmonds-Karp-Algorithmus) Vorgelegt sei das folgende Flussnetzwerk, wobei die Zahlen die Kapazität der jeweiligen Kante angeben.

figure w
  1. a)

    Bestimmen Sie für das obige Flussnetzwerk einen maximalen Fluss f mit Hilfe des Algorithmus von Edmonds und Karp. Dabei sollen zu jedem Schritt die augmentierenden Wege angegeben werden.

  2. b)

    Geben sie einen Schnitt minimaler Kapazität an.

Aufgabe 5.4

(Kantenkonnektivität) Die Kantenkonnektivität eines ungerichteten, zusammenhängenden Graphen ist die minimale Anzahl an Kanten, die man entfernen muss, damit der Graph nicht mehr zusammenhängend ist. Zum Beispiel ist die Konnektivität eines Baums 1 und die Konnektivität eines einfachen Zyklus 2. Zeigen Sie, wie man die Berechnung der Konnektivität eines Graphen auf ein Flussproblem zurückführen kann.

Aufgabe 5.5

(bipartite Graphen) Zeigen Sie, dass jeder ungerichtete Graph \(G = (V, E)\) einen bipartiten Teilgraphen \(H=(V, E')\) enthält mit \(E' \subset E\) und \(|E'| \ge |E| / 2\).

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Harbrecht, H., Multerer, M. (2022). Graphenalgorithmen. In: Algorithmische Mathematik. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-41952-2_5

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