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Fehleranalyse

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Zusammenfassung

Innerhalb des Computers existiert nur eine Pseudoarithmetik. Dies bedeutet, die Menge der Maschinenzahlen ist nicht abgeschlossen bezüglich der vier Grundrechenarten und jede arithmetische Operation ist mit Rundungsfehlern behaftet. In diesem Kapitel analysieren wir einerseits die Fehlerverstärkung durch ein vorgelegtes Problem und andererseits die Fehlerverstärkung durch einen Algorithmus.

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Abb. 2.1
Abb. 2.2

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Correspondence to Helmut Harbrecht .

Übungsaufgaben

Übungsaufgaben

Aufgabe 2.1

(Vermeidung von Auslöschung) Wir haben gelernt, dass die Hauptquelle für Auslöschung die Subtraktion von betragsmäßig nahezu gleich großen Zahlen ist. Schreiben Sie daher nachfolgende Ausdrücke so um, dass dies für die angegebenen Argumente vermieden wird.

  1. a)
    $$ \root 3 \of {1+x} -1\quad \text {f}\ddot{\mathrm{{u}}}\text {r }x \approx 0, $$
  2. b)
    $$ \frac{ 1 - \cos x}{\sin x}\quad \text {f}\ddot{\mathrm{{u}}}\text {r }x \approx 0, $$
  3. c)
    $$ \frac{1}{x - \sqrt{x^2-1}}\quad \text {f}\ddot{\mathrm{{u}}}\text {r }x \gg 1, $$
  4. d)
    $$ x^3 \left( \frac{x}{x^2-1} - \frac{1}{x} \right) \quad \text {f}\ddot{\mathrm{{u}}}\text {r }x \gg 1. $$

Aufgabe 2.2

(Kondition) Sei \(y=f(x)\) die Lösung eines Problems mit reeller Eingabe und Ausgabe. Bestimmen sie die absoluten und relativen Konditionszahlen im Fall von:

  1. a)

    \(f(x) = x\),

  2. b)

    \(f(x) = \root 3 \of {x}\) für \(x\ge 0\),

  3. c)

    \(f(x) = 1/x\),

  4. d)

    \(f(x) = e^x\).

Geben Sie auch jeweils an, für welche Werte von x die Funktionsauswertungen qualitativ gut beziehungsweise schlecht konditioniert sind.

Aufgabe 2.3

(Stabilitätsanalyse der Addition) Es seien die Maschinenzahlen \(a_1,a_2,\dots ,a_n\) gegeben und deren Summe \(f(a_1,a_2,\dots ,a_n) = \sum _{i=1}^n a_i\) zu berechnen. Der Computer habe die Maschinengenauigkeit \(\epsilon _{{\text {mach}}}\). Da nach jedem Zwischenergebnis gerundet werden muss, ist die tatsächliche Implementierung gegeben als

wobei die Addition mit Rundungsfehlern bezeichne, definiert als

mit \(|\mu _{x,y}|\le \epsilon _{{\text {mach}}}\). Beachten Sie, dass \(\mu _{x_1,y_1} = \mu _{x_2,y_2} \) nur dann, wenn \(x_1 = x_2\) und \(y_1 = y_2\) ist, das heißt, der Rundungsfehler bei ist abhängig von den Zahlen x und y, welche addiert werden sollen.

  1. a)

    Zeigen Sie, dass f rückwärts stabil ist, das heißt

    für passende \(\varepsilon _i\) mit \(|\varepsilon _i| \le c \epsilon _{{\text {mach}}}\) und einer von \(a_i\) unabhängigen Konstanten c.

  2. b)

    Rechnen Sie nach, dass f vorwärts stabil ist, das heißt

    mit einem geeigneten Koeffizienten \(C(a_1,a_2,\dots ,a_n)\).

  3. c)

    Zeigen Sie, dass für den absoluten Fehler zwischen und f gilt

  4. d)

    In welcher Reihenfolge sollte summiert werden, um den absoluten Fehler zu minimieren?

Kleine Terme der Größenordnungen \(\epsilon _{{\text {mach}}}^2, \epsilon _{{\text {mach}}}^3,\dotsc \) dürfen in den Rechnungen vernachlässigt werden.

Aufgabe 2.4

(Stabilitätsanalyse des Skalarprodukts) Es soll die Berechnung des Skalarprodukts \(\sum _{i=1}^n x_i y_i\) mit \(x_i,y_i\in \mathbb {R}\) und \(n\in \mathbb {N}\) betrachtet werden. Die Berechnung geschehe sukzessive mit Hilfe der Teilsummen

Ist \(\epsilon _{{\text {mach}}}\) die Maschinengenauigkeit, dann lässt sich \(S_r\) offensichtlich schreiben als

$$ S_r = \big ( x_r y_r ( 1 + \eta _r) + S_{r-1} \big ) (1+\xi _r ) $$

mit \(|\eta _r|, |\xi _r|\le \epsilon _{{\text {mach}}}\).

  1. a)

    Zeigen Sie, dass sich \(S_n\) zwecks Rückwärtsanalyse als

    $$ S_n = \sum _{i=1}^n x_i y_i (1+\varepsilon _i) $$

    schreiben lässt, also als exaktes Rechenergebnis ohne Rundungsfehler, aber mit gestörten Daten \(\tilde{x}_i=x_i(1+\varepsilon _i)\). Wie sieht \(\varepsilon _i\) aus?

  2. b)

    Folgern Sie aus der Darstellung von \(\varepsilon _i\) die Abschätzung

    $$ (1-\epsilon _{{\text {mach}}})^{n-i+2} \le 1 + \varepsilon _i \le (1+\epsilon _{{\text {mach}}})^{n-i+2}$$

    und zeigen Sie für genügend kleines \(\epsilon _{{\text {mach}}}\)

    $$ |\varepsilon _i| \le \frac{ (n-i+2)\,\epsilon _{{\text {mach}}}}{1-(n-i+1)\,\epsilon _{{\text {mach}}}}\quad \text {f}\ddot{\mathrm{{u}}}\text {r } \text { alle } i\in \{0,1,\ldots ,n\}. $$

    Hinweis. Für \(m\in \mathbb {N}\) und \(x\in \mathbb {R}\) mit \(|mx| <1\) gilt \((1+x)^m \le \frac{1}{1-mx}\).

Aufgabe 2.5

(Rückwärtsanalyse eines Gleichungssystems) Wir betrachten das lineare Gleichungssystem

$$\begin{aligned} ax+by&=1,\\ cx+dy&=0 \end{aligned}$$

mit reellen Koeffizienten a, b, c und d.

  1. a)

    Wie lautet die explizite Lösung des Gleichungssystems im Fall \(ad\ne bc\)?

  2. b)

    Seien nun a, b, c und d Maschinenzahlen. Die Gleitkommaarithmetik mit Maschinengenauigkeit \(\epsilon _{{\text {mach}}}\) ergebe die Lösungen \(\tilde{x}\) und \(\tilde{y}\). Zeigen Sie, dass \(\tilde{x}\) und \(\tilde{y}\) die exakten Lösungen eines modifizierten Gleichungssystems

    $$\begin{aligned} \begin{aligned} \tilde{a}\,\tilde{x}+\tilde{b}\,\tilde{y}&=1,\\ \tilde{c}\,\tilde{x}+\tilde{d}\,\tilde{y}&=0 \end{aligned} \end{aligned}$$

    sind, wobei gilt (Terme der Ordnung \(\epsilon _{{\text {mach}}}^2\) werden vernachlässigt)

    $$\begin{aligned} \left| \frac{\tilde{a} - a}{a}\right| \le 3\epsilon _{{\text {mach}}},\quad \left| \frac{\tilde{b} - b}{b}\right| \le 3\epsilon _{{\text {mach}}},\quad \left| \frac{\tilde{c} - c}{c}\right| \le \epsilon _{{\text {mach}}},\quad \left| \frac{\tilde{d} - d}{d}\right| \le \epsilon _{{\text {mach}}}. \end{aligned}$$

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Harbrecht, H., Multerer, M. (2022). Fehleranalyse. In: Algorithmische Mathematik. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-41952-2_2

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