Zusammenfassung
In diesem Kapitel befassen wir uns mit der trigonometrischen Interpolation zur Approximation periodischer Funktionen. Wir zeigen die eindeutige Lösbarkeit der Interpolationsaufgabe und beweisen, dass die schnelle Fourier-Transformation die Lösung in log-linearem Aufwand berechnet.
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Übungsaufgaben
Übungsaufgaben
Aufgabe 18.1
(trigonometrische Interpolation) Gegeben seien die Stützstellen
-
a)
Berechnen Sie das trigonometrische Polynom
$$ p(x) = \beta _0 + \beta _1 e^{ix} + \beta _2 e^{2ix} + \beta _3 e^{3ix}, $$welches die oben angegebenen Stützstellen interpoliert.
-
b)
Bestimmen Sie das äquivalente trigonometrische Polynom
$$ q(x) = \frac{a_0}{2} + a_1 \cos x + b_1 \sin x + \frac{a_2}{2} \cos (2x). $$
Aufgabe 18.2
(Orthonormalsysteme) Zu \(m\in \mathbb {N}\) sind die \(2m+1\) Funktionen \(g_k :[0, 2\pi ] \rightarrow \mathbb {R}\) gegeben durch \(g_1(x) =\frac{1}{\sqrt{2 \pi }}\) und
Zeigen Sie, dass diese Funktionen ein Orthonormalsystem in \(L^2(0, 2\pi )\), dem Raum der quadratisch integrierbaren Funktionen über \((0, 2\pi )\), bilden. Dies bedeutet, dass
für alle \(k, \ell \in \{1, 2, \ldots , 2m+1\}\) gilt.
Aufgabe 18.3
(Optimalität trigonometrischer Interpolation) Für \(n\in \mathbb {N}^*\) bezeichne \(p_n(x)\) ein trigonometrisches Polynom vom Grad \(n-1\), das heißt, \(p_n:[0,2\pi ]\rightarrow \mathbb {C}\) ist definiert durch
Außerdem seien die äquidistanten Knoten
und das trigonometrische Polynom vom Grad \(m\le n-1\) gegeben
Zeigen Sie, dass die Fehlerfunktion
durch das Polynom
minimiert wird. Zeigen Sie also, dass stets \(e(q_m) \ge e(p_m)\) ist. Mit anderen Worten, die Wahl \(\gamma _k = \beta _k \) minimiert die quadratische Abweichung von \(q_m(x)\) zu \(p_n(x)\) in den Knoten \(x_{j}\).
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Harbrecht, H., Multerer, M. (2022). Trigonometrische Interpolation. In: Algorithmische Mathematik. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-41952-2_18
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-41952-2_18
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Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
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Online ISBN: 978-3-642-41952-2
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