Polynominterpolation

Zusammenfassung

Häufig sind nur einige wenige Punktauswertungen einer Funktion bekannt. Diese können beispielsweise aus Messungen stammen. Man ist dann daran interessiert, die vorhandenen Daten auf sinnvolle Weise durch eine stetige Funktion zu interpolieren. Eine Möglichkeit, diese Interpolationsaufgabe zu lösen, bietet die Polynominterpolation, welche wir in diesem Kapitel untersuchen.

Übungsaufgaben

Aufgabe 17.1

(Lagrange-Interpolation) Betrachten Sie die Funktion

$$ f(x) = \frac{3}{3+2x}. $$

Bestimmen Sie das Interpolationspolynom p(x) in Lagrange-Darstellung bezüglich der Stützstellen

$$ [x_0, x_1, x_2, x_3] = [-1, -0{.}5, 0{.}5, 1] $$

und zeigen Sie die Fehlerabschätzung

$$ \max _{x\in [-1, 1]} |f(x) - p(x)| \le 12 . $$

Aufgabe 17.2

(Eigenschaften der Lagrange-Polynome) Gegeben seien $n+1$ beliebige Stützstellen $x_0< x_1<\ldots < x_n$, und es seien $L_0, L_1, \ldots , L_n$ die zugehörigen Lagrange-Polynome sowie w(x) das Knotenpolynom. Zeigen Sie für alle $x \in \mathbb {R}$, dass

• a)
  $$ L_i(x) = \frac{w(x)}{(x-x_i) w'(x_i)}, $$
• b)
  $$ \sum _{i=0}^n L_i(x) = 1. $$

Aufgabe 17.3

(Hermite-Interpolation) Gegeben seien die $n+1$ Stützstellen $x_0< x_1< \ldots <x_n$ und seien $k_i\ge 1$ für alle $i\in \{0,1,\ldots ,n\}$. Beweisen Sie im Fall der Hermite-Interpolation die Aussage von Satz 17.5. Zeigen Sie also die Fehlerabschätzung

$$ f(x)-p(x) = \frac{f^{(K)}(\xi )}{K!} w(x), \quad K\mathrel {\mathrel {\mathop :}=}\sum _{i=0}^n k_i, $$

im Fall des Polynoms $p\in \Pi _{K-1}$, welches den Interpolationsbedingungen

$$ p(x_i) = y_i,\ p'(x_i) = y_i',\ \ldots ,\ p^{(k_i-1)}(x_i) = y_i^{(k_i-1)} \quad \text {f}\ddot{\mathrm{{u}}}\text {r } \text {alle}\; i\in \{0,1,\ldots ,n\} $$

genügt. Das Knotenpolynom w(x) lautet hierbei

$$ w(x) = \prod _{j=0}^n (x-x_{j})^{k_i}\in \Pi _K. $$

Aufgabe 17.4

(Newton-Interpolation) Gegeben seien die drei Stützstellen

$$ \begin{array}{c|ccc} i &{} 0 &{} 1 &{} 2 \\ \hline x_i &{} -2 &{} 1 &{} 3 \\ y_i &{} 1 &{} 1 &{} -2 \end{array} $$

• a) Berechnen Sie das zugehörige Interpolationspolynom p(x) unter Verwendung des Newton-Schemas.

• b) Fügen Sie den obigen Interpolationspunkten noch (0, 0) hinzu und berechnen Sie das Interpolationspolynom q(x).

• c) Werten Sie q(x) mittels des Horner-Schemas an der Stelle $x = -1$ aus.

Aufgabe 17.5

(Hermite-Interpolation und Newton-Schema) Wir wollen die Hermite-Interpolation einer Funktion $f$ in den $n+1$ doppelten Stützstellen $z_0<z_1<\ldots <z_{n}$ bestimmen. Die $2n+2$ Hermite-Interpolationsbedingungen sind dann durch die Funktionswerte von $f$ und deren Ableitung $f'$ in den Stützstellen gegeben. Gesucht ist also ein Polynom $p$ vom Grad $2n+1$, so dass gilt

$$ p(z_i)=f(z_i)\quad \text {und}\quad p'(z_i)=f'(z_i)\quad \text {f}\ddot{\mathrm{{u}}}\text {r } \text { alle } i\in \{0,1,\ldots ,n\}. $$

Durch eine kleine Modifikation der dividierten Differenzen lässt sich die Hermite-Interpolationsaufgabe durch das Newton-Interpolationspolynom lösen. Dazu definieren wir für $k\in \{0,1,\ldots ,n\}$ die $2n+2$ Stützstellen $x_{2k}\mathrel {\mathrel {\mathop :}=}x_{2k+1}\mathrel {\mathrel {\mathop :}=}z_k$ und die ersten zwei dividierten Differenzen neu (die Differenzen höherer Ordnung bleiben unverändert) gemäß

$$ f[x_{2k}]\mathrel {\mathrel {\mathop :}=}f[x_{2k+1}] \mathrel {\mathrel {\mathop :}=}f(z_k) $$

und

$$ f{[x_i,x_{i+1}]}\mathrel {\mathrel {\mathop :}=}{\left\{ \begin{array}{ll}\frac{f[x_{i+1}]-f[x_i]}{x_{i+1}-x_i},&{}\text {falls } x_i <x_{i+1},\\ f'(x_i),&{}\text {falls } x_i=x_{i+1}, \end{array}\right. }\qquad i\in \{0,1,\ldots ,2n\}. $$

Bestimmen Sie mit Hilfe des Newton-Schemas das Newton-Interpolationspolynom, das durch die Hermite-Interpolationsaufgabe

$$ p(0)=-1,\ p'(0)=1,\ p(2)=0 \text { und }p'(2)=6 $$

gegeben ist. Verifizieren Sie, dass p die Interpolationsaufgabe auch tatsächlich erfüllt.

Aufgabe 17.6

(vollständiges Horner-Schema) Wir wollen für ein Polynom $p(x)=a_0+a_1x+\ldots +a_nx^n$ vom Grad $n$ die Werte $p^{(k)}(\xi )$ für $k\in \{0,1,\ldots ,n\}$ bestimmen. Unser Ziel ist es, das Auswerten von Potenzen vermeiden. Für $k=0$ geschieht dies bekanntlich mit dem Horner-Schema

$$ p(\xi )=a_0+\xi \big (a_1+\xi (a_2+\ldots +\xi a_n)\cdots \big ). $$

Nun setzen wir

$$ a'_n=a_n\quad \text {und rekursiv}\quad a'_{\ell }=a_{\ell }+\xi a'_{\ell +1} \ \ \text {f}\ddot{\mathrm{{u}}}\text {r} \ \ \ell =n-1,n-2,\ldots ,0. $$

Zeigen Sie, dass dann gilt

$$ p(x)=a'_0+(x-\xi )(a'_1+a'_2x+\ldots +a'_nx^{n-1}) $$

und

$$ p'(\xi )=a'_1+a'_2\xi +\ldots +a'_n\xi ^{n-1}. $$

Wiederholt man diesen Algorithmus und setzt

$$ a''_n=a'_n\quad \text {und rekursiv}\quad a''_{\ell }=a'_{\ell }+\xi a''_{\ell +1} \ \text {f}\ddot{\mathrm{{u}}}\text {r}\ \ell =n-1,n-2,\ldots ,1, $$

so erhält man

$$ p(x)=a'_0+(x-\xi )a''_1+(x-\xi )^2(a''_2+a''_3x+\ldots +a''_nx^{n-2}). $$

Zeigen Sie, dass der Algorithmus nach $n$-maliger Wiederholung die Umentwicklung von $p$ um die Stelle $\xi$

$$ p(x)=a'_0+a''_1(x-\xi )+a'''_2(x-\xi )^2+\ldots +a_n^{(n+1)}(x-\xi )^n $$

liefert. Folgern Sie abschließend, dass dann $p^{(k)}(\xi )/{k!}=a_k^{(k+1)}$ gilt für $k\in \{0,1,\ldots ,n\}$. Wie teuer ist dieses vollständige Horner-Schema?