Skip to main content

Stetige Verteilungen

  • 1475 Accesses

Zusammenfassung

Nachdem wir bereits diskrete Zufallsvariablen kennengelernt haben, wollen wir uns in diesem Kapitel den stetigen Zufallsvariablen zuwenden. Dazu erweitern wir zunächst den Begriff des Erwartungswerts und der Varianz auf den Fall stetiger Zufallsvariablen. Danach lernen wir die wichtigsten Eigenschaften der Gleichverteilung, der Normalverteilung und der Expontialverteilung kennen.

This is a preview of subscription content, access via your institution.

Buying options

eBook
USD   24.99
Price excludes VAT (USA)
  • ISBN: 978-3-642-41952-2
  • Instant PDF download
  • Readable on all devices
  • Own it forever
  • Exclusive offer for individuals only
  • Tax calculation will be finalised during checkout
Softcover Book
USD   34.99
Price excludes VAT (USA)
Abb. 14.1
Abb. 14.2
Abb. 14.3
Abb. 14.4

Author information

Authors and Affiliations

Authors

Corresponding author

Correspondence to Helmut Harbrecht .

Übungsaufgaben

Übungsaufgaben

Aufgabe 14.1

(Dichtefunktion) Sei \(\alpha > 1\) und

$$ f(x) = {\left\{ \begin{array}{ll} \kappa x^{- \alpha }, &{} {\text {f}}{\ddot{\text {u}}}{\text {r}}\ x \ge 1, \\ 0, &{} {\text {f}}{\ddot{\text {u}}}{\text {r}}\ x < 1.\end{array}\right. } $$

Bestimmen Sie \(\kappa \) so, dass f die Dichtefunktion einer stetigen Zufallsvariable X ist. Bestimmen Sie außerdem den Erwartungswert sowie die Varianz von X.

Aufgabe 14.2

(Summe zweier Zufallsvariablen) Seien \({(\Omega ,\mathcal {A},\mathbb {P})}\) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X und Y zwei Zufallsvariablen, deren Erwartungswerte existieren. Zeigen Sie, dass dann auch der Erwartungswert der Zufallsvariable \(Z\mathrel {\mathrel {\mathop :}=}X + Y\) existiert und \(\mathbb {E}[Z] = \mathbb {E}[X] + \mathbb {E}[Y]\) gilt.

Aufgabe 14.3

(Poisson- und Exponentialverteilung) Ein radioaktiver Stoff emittiert während einer Stunde im Mittel drei Teilchen.

  1. a)

    Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass während einer Minute mindestens zwei Teilchen emittiert werden?

  2. b)

    Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird nach der Emission eines Teilchens das nächste Teilchen frühestens nach vier und spätestens nach sechs Minuten emittiert?

  3. c)

    Wie lange muss man nach der Emission eines Teilchens warten, damit die Wahrscheinlichkeit, dass wieder ein Teilchen emittiert wird, größer als 95 % ist?

Aufgabe 14.4

(Normalverteilung) In einer Kleinbrauerei sei für die automatische Abfüllung eines Bieres in Flaschen ein Gegendruckabfüllautomat auf eine Abfüllmenge von \(330\,ml\) eingestellt. Für Abfüllmengen in diesem Bereich wird vom Hersteller des Automaten angegeben, dass die tatsächliche Abfüllmenge eine normalverteilte Zufallsvariable ist mit der eingestellten Füllmenge als Erwartungswert, das heißt \(\mu = 330\,ml\), und der Varianz \(\sigma ^2 = 16{.}66\,(ml)^2\).

  1. a)

    Wie viele von \(4\,000\) Flaschen einer Tagesproduktion weisen im Mittel eine Abfüllmenge kleiner als \(322\,ml\) auf?

  2. b)

    Auf welche neue Abfüllmenge müsste der Automat eingestellt werden, damit durchschnittlich nur \(1\,\%\) der Flaschen eine Abfüllmenge kleiner als \(322\,ml\) aufweisen?

Rights and permissions

Reprints and Permissions

Copyright information

© 2022 Der/die Autor(en), exklusiv lizenziert durch Springer-Verlag GmbH, DE , ein Teil von Springer Nature

About this chapter

Verify currency and authenticity via CrossMark

Cite this chapter

Harbrecht, H., Multerer, M. (2022). Stetige Verteilungen. In: Algorithmische Mathematik. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-41952-2_14

Download citation