Ringe und Polynome

Zusammenfassung

Ein Ring ist eine additiv geschriebene Kommutative Gruppe $R$, auf der zusätzlich eine Multiplikation definiert ist, wie etwa beim Ring $Z$ der ganzen Zahlen. Dabei verlangt man, dass Addition und Multiplikation im Sinne der Distributivgesetze miteinander verträglich sind. Bilden die von Null verschiedenen Elemente eines Ringes eine kommutative Gruppe bezüglich der Multiplikation, so handelt es sich um einen Körper.Wir benötigen Körper als Koeffizientenbereiche für algebraische Gleichungen, bzw. als Koeffizientenringe für Polynome. Zu Beginn des Kapitels wiederholen wir einige allgemeine Grundlagen zu Ringen und studieren dann insbesondere Polynomringe einer Variablen mit Koeffizienten aus einem Körper, bzw. allgemeiner Hauptidealringe. Als zentrales Thema folgt die Theorie der Primfaktorzerlegung einschließlich des Satzes von Gauß. In einem optionalen Abschnitt illustrieren wir schließlich noch das Rechnen in Hauptidealringen, indem wir auf die so genannte Elementarteilertheorie eingehen.