Zusammenfassung
Bei einer Immersion \(X:U\to \mathbb{E}\) haben wir die innere und die äußereGeometrie unterschieden: Die innere Geometrie betrachtet Größen, die nur mit Hilfe der ersten Fundamentalform \({{g}_{ij}}=\left\langle \left. {{X}_{i}},{{X}_{j}} \right\rangle \right.\) ausgedrückt werden können, während die äußere Geometrie die Lage des Tangentialraums \({{T}_{u}}\subset \mathbb{E}\)in Abhängigkeit von \(u\in U\)berücksichtigt. Wie schon früher angedeutet, hat Bernhard Riemann, in seinem berühmt gewordenen Habilitationsvortrag „Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen“ am 10. Juni 1854 in Göttingen die innere Geometrie in dem Sinne weiterentwickelt, dass er auf die Immersion ganz verzichtete und nur eine zusammenhängende offene Teilmenge (ein Gebiet) \(U\subset {{\mathbb{R}}^{m}}\) mit einem variablen Skalarprodukt g ausstattete, das wir heute zu seinen Ehren Riemannsche Metrik nennen: Eine Familie von C ∞-differenzierbaren Funktionen \({{g}_{ij}}:U\to \mathbb{R}\) für \(i\text{,}j\in \{1,...,m\}\), für die die Matrix \({{g}_{u}}=({{g}_{ij}}(u))\) an jeder Stelle \(u\in U\) symmetrisch und positiv definit ist:
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Notes
- 1.
[41], S. 304–319; s. auch die Kommentare von H.Weyl, ebd., S. 740–768
- 2.
[41], S.318
- 3.
Dieser Aspekt kommt in dem von Einstein geprägten Begriff „Allgemeine Relativitätstheorie“ zum Ausdruck: Gemeint war damit eine physikalische Theorie, die unter beliebigen Diffeomorphismen („allgemeinen“ Koordinatentransformationen) invariant ist.
- 4.
Damit wird es möglich, Riemannsche Metriken auch auf Mannigfaltigkeiten zu definieren, die selbst nicht mehr Gebiete im \({{\mathbb{R}}^{m}}\) 12.7. Im jetzigen Abschnitt wollen wir uns aber ganz auf die lokalen Aspekte der Theorie beschränken.
- 5.
Auf die Bedeutung der Parallelverschiebung als ein Grundbegriff der Riemannschen Geometrie hat vor allem H. Weyl [46] aufmerksam gemacht.
- 6.
Das Vektorfeld \([a,b]={{\partial }_{a}}b-{{\partial }_{b}}a\) heißt Lieprodukt der Vektorfelder a, b, benannt nach Marius Sophus Lie, 1842 (Nordfjordeide, Norwegen) - 1899 (Kristiania, heute Oslo)
- 7.
Beweis zu (d) für \(\begin{matrix} a={{e}_{i}}, & b={{b}^{j}}{{e}_{j}}, & c={{c}^{l}}{{e}_{l}}: \\ \end{matrix}\):
$$\begin{array}{*{35}{l}} g({{D}_{i}}b,c)+g({{D}_{i}}c,b) & = & {{b}^{j}}{{c}^{l}}(g({{D}_{i}}{{e}_{j}},{{e}_{l}})+g({{D}_{i}}{{e}_{l}},{{e}_{j}}))+(({{\partial }_{i}}{{b}^{j}}){{c}^{l}}+({{\partial }_{i}}{{c}^{l}}){{b}^{j}}){{g}_{jl}} \\ {} & \overset{11.19}{\mathop{=}}\, & {{b}^{j}}{{c}^{l}}{{\partial }_{i}}{{g}_{jl}}+{{\partial }_{i}}({{b}^{j}}{{c}^{l}}){{g}_{jl}}, \\ {{\partial }_{i}}g(b,c) & = & {{\partial }_{i}}({{b}^{j}}{{c}^{l}}{{g}_{jl}}) \\ {} & = & {{\partial }_{i}}({{b}^{j}}{{c}^{l}}){{g}_{jl}}+{{b}^{j}}{{c}^{l}}{{\partial }_{i}}{{g}_{jl}}. \\ \end{array}$$ - 8.
Das Wort kovariant bedeutet, dass der Ausdruck sich unter Diffeomorphismen (Übergang zu einem geometrisch äquivalenten Riemannschen Gebiet) richtig transformiert und deshalb geometrische Bedeutung hat.
- 9.
Das Wort „Tensor“ kommt aus der Physik und wurde zuerst für die Darstellung der Spannung („tension“) bei der Deformation eines elastischen Materials verwendet. Der Begriff dient heute allgemein zur Bezeichnung von linearen oder multilinearen Abbildungen, die noch von einem weiteren Parameter u differenzierbar abhängen und sich unter Koordinatentransformationen „homogen“ transformieren wie z.B. g in (3.8). Der Wortbestandteil „Krümmung“ wird im nächsten Abschnitt deutlich.
- 10.
Außer der Antisymmetrie im ersten und zweiten Block, \( {{R}_{ij}}\text{=-}{{R}_{ji}} \) sowie \({{R}_{ijkl}}=-{{R}_{ijlk}}\) (11.30) gibt es noch drei weitere Krümmungsidentitäten (Relationen zwischen den Komponenten des Krümmungstensors und seiner Ableitung): \({{R}_{ijkl}}={{R}_{iklij}}\) (Blockvertauschung), \({{R}_{ijkl}}+{{R}_{ijkil}}+{{R}_{ikijl}}=0\) (Bianchi I) sowie \({{\left( {{D}_{i}}R \right)}_{jk}}+{{\left( {{D}_{j}}R \right)}_{ki}}+{{\left( {{D}_{k}}R \right)}_{ij}}=0\) (Bianchi II), vgl. z.B. [27] oder [36].
- 11.
- 12.
Englische Übersetzung und Kommentar in [9] sowie [44], Bd. II
- 13.
Eine Biegung ist eine Deformation einer Fläche im Raum, bei der die inneren Abstände lokal unverändert bleiben, wie z.B. beim Rollen eines Blatts Papier.
- 14.
Im Fall höherer Kodimension tritt noch eine weitere Gleichung hinzu, die nach Ricci benannt ist und die Geometrie des Normalenbündels beschreibt; vgl. [44], Bd. IV.
- 15.
Delfino Codazzi, 1824 (Lodi, Italien) – 1873 (Pavia), Gaspare Mainardi, 1800 (Mailand) – 1879 (Lecco).
- 16.
Der Ausdruck D i h wird als Levi-Civita-Ableitung der zweiten Fundamentalform h bezeichnet. Wie schon in 6.2 erläutert, wird die Levi-Civita-Ableitung eines beliebigen Tensors so definiert, dass für seine Anwendung auf Vektorfelder die Produktregel gilt, z.B. \({{\partial }_{i}}(h(\upsilon ,\omega ))=({{D}_{i}}h)(\upsilon ,\omega )+h({{D}_{i}}\upsilon ,\omega )+h(\upsilon ,{{D}_{i}}\omega )\). In dieser Schreibweise ist zum Beispiel (11.11) gleichbedeutend mit \({{D}_{i}}g=0\).
- 17.
\(S({{R}^m})\) bezeichnet den Vektorraum der symmetrischen reellen \(m\times m-\text{Matrizen}\)-Matrizen.
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Eschenburg, JH., Jost, J. (2014). Innere und äußere Geometrie. In: Differentialgeometrie und Minimalflächen. Springer-Lehrbuch Masterclass. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-38522-3_11
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