Rand- und Eigenwertprobleme

Zusammenfassung

Bei den bisher betrachteten Anfangswertaufgaben waren — zu einer gegebenen Differentialgleichung — für eine gesuchte Funktion (und eventuell einige ihrer Ableitungen) Bedingungen in einem Punkt gestellt worden. Bei den in diesem Kapitel untersuchten Randwertproblemen werden Bedingungen an den beiden Randpunkten a und b eines vorgegebenen Intervalls [a, b] gestellt. Fragen dieser Art begegnen uns bei vielen Aufgaben der Physik und Technik. Ein Beispiel, das auch in der Entwicklung der Mathematik eine herausragende Bedeutung hatte, ist das der schwingenden Saite.

Die allgemeine Untersuchung führt zu Eigenwertaufgaben.

Schon bei der schwingenden Saite, wo ein beliebiger Ton durch Kombination von Obertönen beschrieben werden kann, stößt man auf die Frage der Entwicklung nach ‚speziellen‘ Funktionen.