Zusammenfassung
Geometrie hat in deutschen Schulklassen eine Doppelfunktion: Einerseits geht es um die logische Analyse geometrischer Sachverhalte, andererseits ist Geometrie die „natürliche“ Analyse des uns umgebenden Raumes. Dieser Gegensatz wird aus historisch-genetischer, lern- und kognitionstheoretischer wie auch unterrichtlicher Perspektive entfaltet. Curriculare Fragen spielen ebenso eine Rolle wie aktuelle Entwicklungen des Einsatzes Dynamischer Geometrie-Software (also „neuer Technologien“), die zunehmende Bedeutung der Raumgeometrie und die Rolle geometrischer Begriffe für die Veranschaulichung (Visualisierung) außergeometrischer Sachverhalte. Auch internationale Entwicklungslinien zu einer Didaktik der Geometrie werden skizziert. Zum Abschluss werden Themen und damit verbundene Dichotomien benannt, die auch künftig eine didaktisch orientierte Beschäftigung mit der Geometrie und ihrer unterrichtlichen Realisierung lohnend machen.
This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
Access this chapter
Tax calculation will be finalised at checkout
Purchases are for personal use only
Notes
- 1.
Es soll hierdurch ausgedrückt werden, dass jeglicher mathematischer Zusammenhang durch natürliche Zahlen und deren Verhältnisse berechnet, gemessen bzw. erklärt werden kann.
- 2.
Aus Euklids Formulierung ist zunächst nicht einmal unmittelbar einsichtig, dass es sich hier um Aussagen über Parallelen handelt. Dies wird deutlicher in der logisch äquivalenten Formulierung von Playfair: „Durch einen Punkt, der nicht auf einer gegebenen geraden Linie oder ihrer Verlängerung liegt, kann nicht mehr als eine parallele gerade Linie gezeichnet werden (Trudeau 1998, S. 187).
- 3.
Unter Unabhängigkeit versteht Hilbert, dass ein Axiom nicht aus anderen Axiomen hergeleitet bzw. bewiesen werden kann. Widerspruchsfreiheit bedeutet, dass logische Schlussfolgerungen und Beweise auf Grundlage der als gültig angenommenen Axiome nicht auf Widersprüche führen dürfen. Zudem muss das System vollständig in der Weise sein, dass alle in dieser Struktur geltenden Sätze auch bewiesen werden können.
- 4.
- 5.
Die Fähigkeit zu mentalen Rotationen beschreiben Linn und Petersen (1985) darin, zwei- oder dreidimensionale Figuren schnell und präzise mental im Raum zu drehen.
- 6.
Die Fähigkeit der räumlichen Wahrnehmung erfordert die Bestimmung räumlicher Beziehungen von Objekten unter Berücksichtigung der eigenen Körperorientierung.
- 7.
Räumliche Visualisierung beschreibt die Fähigkeit, Aufgaben durch mehrschrittige und komplexe Manipulationen räumlicher Informationen zu lösen. Hierbei können multiple Lösungsstrategien verwendet werden, welche auch Fähigkeiten zu ‚mentalen Rotationen‘ oder ‚spatial perception‘ verwenden.
- 8.
The International Group for the Psychology of Mathematics Education (PME) ist eine Forschergruppe, die auf dem International Congress on Mathematical Education-3 (ICME-3) im Jahr 1976 in Karlsruhe gegründet wurde und sich inzwischen zu einer internationalen Vereinigung von Mathematikdidaktikern entwickelt hat, welche alljährlich Kongresse organisiert, die von Kolleginnen und Kollegen aus der ganzen Welt besucht werden. Für weitere Informationen vgl. http://igpme.org.
- 9.
- 10.
- 11.
Virtueller Realität.
- 12.
Die internationale Mathematische Unterrichtskommission (‚IMUK‘, bekannt als ‚International Commission for Mathematics Instruction (ICMI)‘ initiiert immer wieder internationale Studien zu bestimmten Fragen des Lehrens und Lernens von Mathematik. Die Geometrie-Studie ist dafür ein Beispiel.
- 13.
Für die Kongressberichte vgl. http://www.mathunion.org/icmi/publications/icme-proceedings/.
- 14.
Für die Kongressberichte vgl. http://ermeweb.free.fr/index.php oder die jährlichen Tagungen der internationalen Forschergruppe PME ‚International Group for the Psychology of Mathematics Education‘, gut dokumentiert beim Dokumentationszentrum ERIC, vgl. www.eric.ed.gov oder http://www-didactique.imag.fr/preuve/PME/PMEProceedings.html.
Literatur
Aebli, H. (1985). Das operative Prinzip. mathematik lehren, 11, 4–6.
Andelfinger, B. (1988). Geometrie. Soest: Soester Verlagskontor.
Arcavi, A. (2003). The role of visual representations in the learning of mathematics. Educational Studies in Mathematics, 52, 215–241.
Arzarello, F., & Robutti, O. (2010). Multimodality in multi-representational environments. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 42(7), 715–731.
Arzarello, F., Olivero, F., Paola, D., & Robutti, O. (2002). A cognitive analysis of dragging. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 34(3), 66–71.
Baccaglini-Frank, A., & Mariotti, M. A. (2010). Conjecturing and proving in dynamic geometry: The elaboration of some research hypotheses. In F. Arzarello, V. Durand-Guerrier, & S. Soury-Lavergne (Hrsg.), Proceedings of CERME 6. January 28th–February 1st 2009, Lyon (France) (Working Group 2, S. 231–240). Institut National de Recherche Pédagogique.
Bachmann, F. (1959). Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff: Eine Vorlesung. Berlin: Springer.
Backe-Neuwald, D. (2000). Bedeutsame Geometrie in der Grundschule – aus Sicht der Lehrerinnen und Lehrer, des Faches, des Bildungsauftrages und des Kindes. Paderborn: Dissertation.
Bauersfeld, H. (1983). Subjektive Erfahrungsbereiche als Grundlage einer Interaktionstheorie des Mathematiklernens und -lehrens. In H. Bauersfeld (Hrsg.), Lernen und Lehren von Mathematik (S. 1–56). Köln: Aulis-Verlag Deubner.
Bauersfeld, H. (1993). Drei Gründe, Geometrisches Denken in der Grundschule zu fördern. mathematica didactica, 16(1), 3–36.
Beckmann, A. (1989). Zur didaktischen Bedeutung der abbildungsgeometrischen Beweismethode für 12- bis 15jährige Schüler. Bad Salzdetfurth: Franzbecker.
Bender, P. (1983). Zentrale Ideen der Geometrie für den Unterricht der Sekundarstufe I. In Beiträge zum Mathematikunterricht 1983- Vorträge auf der 17. Bundestagung für Didaktik der Mathematik vom 1.3. bis 4.3.1983 in Koblenz (S. 8–17). Bad Salzdetfurth: Franzbecker.
Bender, P. (1989). Anschauliches Beweisen im Geometrieunterricht – unter besonderer Berücksichtigung von (stetigen) Bewegungen bzw. Verformungen. In K. Hermann & M. Wolfgang (Hrsg.), Anschauliches Beweisen (S. 95–146). Stuttgart: B.G.Teubner.hpt.
Bender, P., & Schreiber, A. (1985). Operative Genese der Geometrie. Wien: Hölder-Pichler-Tempsky.
Besuden, H. (1979). Die Förderung der Raumvorstellung im Geometrieunterricht. Beiträge zum Mathematikunterricht, 1979 , 64–67.
Bishop, A. J. (1980). Spatial abilities and mathematics education – A review. Educational Studies in Mathematics, 11(2), 257–269.
Blumenthal, O. (1935). Lebensgeschichte (Übers. D. Hilbert). In D. Hilbert (Hrsg.), Gesammelte Abhandlungen(Bd. 3, S. 388–429). Berlin: Springer.
Bourbaki, N. (1971). Elemente der Mathematikgeschichte. Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht.
Bruner, J. S. (1960). The process of education. Cambridge: Harvard University Press.
Büchter, A. (2010). Zur Erforschung von Mathematikleistung. Theoretische Studie und empirische Untersuchung des Einflussfaktors Raumvorstellung. Dortmund: Technische Universität Dortmund.
Choquet, G. (1970). Neue Elementargeometrie. Braunschweig: Vieweg.
Dörfler, W. (1991). Der Computer als kognitives Werkzeug und kognitives Medium. In W. Peschek, W. Dörfler, E. Schneider, & K. Wegenkittl (Hrsg.), Computer – Mensch – Mathematik (S. 51–76). Wien: B.G. Teubner hpt.
Dörfler, W., & Kadunz, G. (2006). Rezension Erkenntnisentwicklung. Journal für Mathematik-Didaktik, 27(3/4), 300–318.
Euclides, & Thaer, C. (2005). Die Elemente: Bücher I–XIII (Nachdr. d. 4. erw. Aufl.) Frankfurt a. M: Deutsch.
Field, J. V. (1997). The invention of infinity: Mathematics and art in the renaissance. Oxford: Oxford University Press.
Fischer, R. (1984). Geometrie der Terme oder Algebra vom visuellen Standpunkt aus. Mathematik Unterricht, 8(Juni), 19–34.
Franke, M. (2007). Didaktik der Geometrie. Heidelberg: Spektrum.
Freudenthal, H. (1973). Mathematik als pädagogische Aufgabe. Stuttgart: Ernst Klett.
Graumann, G., Hölzl, R., Krainer, K., Neubrand, M., & Struve, H. (1996). Tendenzen der Geometriedidaktik der letzten 20 Jahre. Journal für Mathematik-Didaktik, 17(3/4), 163–237.
Griesel, H. (1974). Überlegungen zur Didaktik der Mathematik als Wissenschaft. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 6(3), 115–119.
Grüßing, M. (2002). Wieviel Raumvorstellung braucht man für Raumvorstellungsaufgaben? Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 34(2), 37–45. doi:10.1007/bf02655702.
Grüßing, M. (2012). Räumliche Fähigkeiten und Mathematikleistung: Eine empirische Studie mit Kindern im 4. Schuljahr. Münster: Waxmann.
Haddas, N., Herschkowitz, R., & Schwarz, B. (2000). The role of contradiction and uncertainty in promoting the need to prove in dynamic geometry environment. Educational Studies in Mathematics, 44(1–2), 127–150.
Hattermann, M. (2011). Der Zugmodus in 3D-DGS. Analyse von Nutzerverhalten und Typenbildung. Wiesbaden: Vieweg + Teubner.
Healy, L., & Hoyles, C. (1998). Justifying and proving in school mathematics. Technical Report on the Nationwide Survey. London: Institute of Education, University of London.
Heintz, B. (2000). Die Innenwelt der Mathematik: Zur Kultur und Praxis einer beweisenden Disziplin. Wien: Springer.
Heinze, A. (2002). „… aber ein Quadrat ist kein Rechteck“ – Schülerschwierigkeiten beim Verwenden einfacher geometrischer Begriffe in Jahrgang 8. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 34(2), 51–55.
Heinze, A., & Kwak, J. (2002). Informal prerequisites for informal proofs. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 34(1), 9–16, doi:10.1007/bf02655688.
Heinze, A., & Reiss, K. (2004). The teaching of proof at the lower secondary level-a video study. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 36(3), 98–104. doi:10.1007/bf02652777.
Heinze, A., Cheng, Y.-H., Ufer, S., Lin, F.-L., & Reiss, K. (2008). Strategies to foster students’ competencies in constructing multi-steps geometric proofs: Teaching experiments in Taiwan and Germany. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 40(3), 443–453. doi:10.1007/s11858-008-0092-1.
Hellmich, F., & Hartmann, J. (2002). Aspekte einer Förderung räumlicher Kompetenzen im Geometrieunterricht. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 34(2), 56–61. doi:10.1007/bf02655705.
Hofe, R. (1995). Grundvorstellungen mathematischer Inhalte. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag.
Hoffmann, M. H. G. (2005). Erkenntnisentwicklung. Frankfurt a. M.: Vittorio Klostermann.
Hölzl, R. (1994). Im Zugmodus der Cabri-Geometrie. Interaktionsstudien und Analysen zum Mathematiklernen mit dem Computer. Weinheim: Deutscher Studien-Verlag.
Hölzl, R. (1999). Qualitative Unterrichtsstudien zur Verwendung dynamischer Geometrie-Software. Augsburg: Wißner-Verlag.
Holland, G. (1974/1977). Geometrie für Lehrer und Studenten. Hannover: Schroedel.
Holland, G. (2007). Geometrie in der Sekundarstufe: Entdecken – Konstruieren – Deduzieren; didaktische und methodische Fragen. Hildesheim: Franzbecker.
Hollebrands, K., Laborde, C., & Sträßer, R. (2008). Technology and the learning of geometry at the secondary Level. In M. K. Heid & W. B. Glendon (Hrsg.), Research on technology and the teaching and learning of mathematics. Research syntheses (S. 155–205). Charlotte: Information Age Publishing.
Hoyles, C., & Lagrange, J.-B. (Hrsg.). (2010). Mathematics education and technology – Rethinking the Terrain. The 17th ICMI Study. New York: Springer.
Jahnke, T. (2010). Das mähliche Verschwinden des Faches aus der Mathematikdidaktik. In GDM. (Hrsg.). Vorträge auf der 44. Tagung für Didaktik der Mathematik Gemeinsame Jahrestagung der Deutschen Mathematiker-Vereinigung und der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik vom 08.03. bis 12.03.2010 in München. Münster: WTM.
Jahnke, H. N., & Seeger, F. (1986). Proportionalität. In G. von Harten, H. N. Jahnke, T. Mormann, M. Otte, F. Seeger, H. Steinbring, & H. Stellmacher (Hrsg.), Funktionsbegriff und funktionales Denken (S. 35–85). Köln: Aulis Verlag Deubner.
Kadunz, G. (2003). Visualisierung: Die Verwendung von Bildern beim Lernen von Mathematik. München: Profil Verlag.
Kadunz, G. (Hrsg.). (2010). Sprache und Zeichen: Zur Verwendung von Linguistik und Semiotik in der Mathematikdidaktik. Hildesheim: Franzbecker.
Kadunz, G., & Sträßer, R. (2009). Didaktik der Geometrie in der Sekundarstufe I. Hildesheim: Franzbecker.
Kaufmann, H. (2004). Geometry Education with Augmented Reality. Dissertation. Technische Universität Wien, Wien.
Kaufmann, H. (2010). Applications of Mixed Reality: Anwendungen von Mischrealitäten. Wien: Holzhausen.
Klein, F. (1927). Vorlesungen über nicht-euklidische Geometrie. New York: Chelsea Publishing Company.
Klieme, E. (1986). Bildliches Denken als Mediator für Geschlechtsunterschiede beim Lösen mathematischer Probleme. In H. G. Steiner (Hrsg.), Grundfragen der Entwicklung mathematischer Fähigkeiten (S. 133–151). Köln: Aulis.
Knapp, O. (2010). Entwicklung und Evaluation interaktiver Instruktionsvideos für das geometrische Konstruieren im virtuellen Raum. Münster: WTM.
Kuzniak, A., & Rauscher, J.-C. (2011). How do teachers’ approaches to geometric work relate to geometry students’ learning difficulties? Educational Studies in Mathematics Education, 77(1), 129–147.
Laborde, C. (2000). Dynamic geometry environment as a source of rich learning context for the complex activity of proving. Educational Studies in Mathematics, 44(1–2), 151–161.
Laborde, C. (2001). Zwischen Zeichnung und Theorie – Geometrielernen mit DGS. In H.-J. Elschenbroich (Hrsg.), Zeichnung – Figur – Zugfigur. Mathematische und didaktische Aspekte dynamischer Geometrie-Software; Ergebnisse eines RiP-Workshops vom 12–16. Dezember 2000 im Mathematischen Forschungsinstitut Oberwolfach (S. 145–160). Hildesheim: Franzbecker.
Laborde, C., Kynigos, C., Hollebrands, K., & Strässer, R. (2006). Teaching and learning geometry with technology. In A. Gutierrez & P. Boero (Hrsg.), Handbook of research on the psychology of mathematics education (S. 275–304). Rotterdam: Sense Publishers.
Lehmann, W., & Jüling, I. (2002). Raumvorstellungsfähigkeit und mathematische Fähigkeiten – unabhängige Konstrukte oder zwei Seiten einer Medaille? Psychologie in Erziehung und Unterricht, 49(1), 31–43.
Linn, M. C., & Petersen, A. C. (1985). Emergence and Characterization of Sex Differences in Spatial Ability: A Meta-Analysis. Child Development, 56(6), 1479–1498.
Linn, M. C., & Petersen, A. C. (1986). A meta-analysis of gender differences in spatial ability: Implications for mathematics and science achievement. In J. S. Hyde & M. C. Linn (Hrsg.), The psychology of gender: Advances through meta-analysis (S. 293, VII). Baltimore: Johns Hopkins University Press.
Lohmann, D. F. (1988). Spatial abilities as traits, processes, and knowledge. In R. J. Sternberg (Hrsg.), Advances in the psychology of human intelligence. (Bd. 4, S. 181–248). Hillsdale: Lawrence Erlbaum Associates.
Luig, K., & Sträßer, R. (2009). Förderung ausgewählter Aspekte der Raumvorstellung mit dynamischer Geometriesoftware. In M. Neubrand (Hrsg.), Beiträge zum Mathematikunterricht 2009. Vorträge auf der 43. Tagung für Didaktik der Mathematik vom 2.3–6.3.2009 in Oldenburg (S. 301–304). Hildesheim: Franzbecker.
Maier, P. H. (1999). Räumliches Vorstellungsvermögen. Ein theoretischer Abriß des Phänomens räumliches Vorstellungsvermögen; mit didaktischen Hinweisen für den Unterricht. Donauwörth: Auer.
Mammana, C., & Villani, V. (Hrsg.). (1998). Perspectives on the teaching of geometry for the 21st century. An ICMI Study. Dordrecht: Kluwer.
Mariotti, M. A. (2006). Proof and proving in mathematics education. In A. Gutiérrez & P. Boero (Hrsg.), Handbook of research on the psychology of mathematics education. Past, present and future. PME 1976–2006 (S. 173-204). Rotterdam: Sense Publishers.
Meißner, H. (2006). Projekt „DORF“ – Raumvorstellungen verbessern. Journal für Mathematik-Didaktik, 27(1), 28–51.
Merschmeyer-Brüwer, C. (2002). Räumliche Strukturierungsweisen bei Grundschulkindern zu Bildern von Würfelkonfigurationen – Augenbewegungen als Indikatoren für mentale Prozesse. Journal für Mathematik-Didaktik, 23(1), 28–50.
Mitchell, W. J. T. (1997). Der Pictorial Turn. In C. Kravagna (Hrsg.), Privileg Blick. Kritik der visuellen Kultur (S. 15–40). Berlin: Id-Verlag.
Mitchell, W. J. T. (2008). Bildtheorie. Frankfurt a. M.: Suhrkamp.
Mithalal, J. (2010). Déconstruction instrumentale et déconstruction dimensionnelle dans le contexte de la géométrie dynamique tridimensionnelle. Dissertation. Université Joseph Fourier, Grenoble.
Nührenbörger, M. (2002). Denk- und Lernwege von Kindern beim Messen von Längen. Theoretische Grundlegung und Fallstudien kindlicher Längenkonzepte im Laufe des 2. Schuljahres. Hildesheim: Franzbecker.
Olivero, F. (2003). The proving process within a dynamic geometry environment. Dissertation. University of Bristol, Bristol.
Olivero, F., & Robutti, O. (2007). Measuring in dynamic geometry environments as a tool for conjecturing and proving. International Journal for Computers in Mathematics Learning, 12 , 135–156.
Owens, K., & Outhred, L. (2006). The complexity of learning geometry and measurement. In A. Gutiérrez & P. Boero (Hrsg.), Handbook of research on the psychology of mathematics education: Past, present and future. PME 1976–2006 (S. 83–115). Rotterdam: Sense Publishers.
Parzysz, B. (1988). „Knowing“ vs. „Seeing“. Problems of the plane representation of space geometry figures. Educational Studies in Mathematics, 19, 79–92.
Piaget, J., & Inhelder, B. (1971). Die Entwicklung des räumlichen Denkens beim Kinde. Stuttgart: Klett.
Piaget, J., Inhelder, B., & Szeminska, A. (1974). Die natürliche Geometrie des Kindes. Stuttgart: Klett.
Pinkernell, G. (2003). Räumliches Vorstellungsvermögen im Geometrieunterricht: eine didaktische Analyse mit Fallstudien. Hildesheim: Franzbecker.
Pospeschill, M., & Reiss, K. (1999). Phasenmodell sich entwickelnder Problemlösestrategien bei räumlich-geometrischem Material. Journal für Mathematik-Didaktik, 20(2/3), 166–185.
Presmeg, N. (2006). Research on Visualization in Learning and Teaching Mathematics. In A. Gutierrez & P. Boero (Hrsg.), Handbook of research on the psychology of mathematics education (S. 205–235). Rotterdam: Sense Publishers.
Probst, B., & Sträßer, R. (2009). Tauglichkeitstest schulgeeigneter 3D-Programme an Aufgaben zur räumlichen Geometrie. In M. Neubrand (Hrsg.), Beiträge zum Mathematikunterricht 2009. Vorträge auf der 43. Tagung für Didaktik der Mathematik vom 2.3.–6.3.2009 in Oldenburg (S. 310–313). Hildesheim: Franzbecker.
Reiss, K., Klieme, E., & Heinze, A. (2001). Prerequisites for the understanding of proofs in the geometry classroom. In M. v. d. Heuvel-Panhuizen (Hrsg.), Proceedings of the 25th conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Bd. 4, S. 97–104). Utrecht: University.
Reiss, K., Heinze, A., Renkl, A., & Groß, C. (2008). Reasoning and proof in geometry: Effects of a learning environment based on heuristic worked-out examples. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 40(3), 455–467. doi:10.1007/s11858-008-0105-0.
Rost, D. H. (1977). Raumvorstellung (psychologische und pädagogische Aspekte). Weinheim: Beltz.
Roth, J. (2005). Bewegliches Denken im Mathematikunterricht. Hildesheim: Franzbecker.
Russo, L. (2005). Die vergessene Revolution oder die Wiedergeburt des antiken Wissens. Berlin: Springer.
Schumann, H. (1999). Medienspezifische Methodenvielfalt bei der Behandlung einer Extremwertaufgabe. Mathematik in der Schule, 37(6), 359–366.
Schumann, H. (2007). Schulgeometrie im virtuellen Handlungsraum. Ein Lehr- und Lernbuch der interaktiven Raumgeometrie mit Cabri 3D. Hildesheim: Franzbecker.
Schweiger, F. (1992). Fundamentale Ideen. Eine geistesgeschichtliche Studie zur Mathematikdidaktik. Journal für Mathematik-Didaktik, 13(2/3), 199–214.
Scriba, C. J., & Schreiber, P. (2010). 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen. Vom Zählstein zum Computer. Berlin: Springer.
Sfard, A. (2005). What could be more practical than a good research? On mutual relations between research and practice of mathematics education (Survey Team 1 Report on Relations between research and Practice of Mathematics Education). Educational Studies in Mathematic, 58, 393–413.
Söbbeke, E. (2005). Zur visuellen Strukturierungsfähigkeit von Grundschulkindern: epistemologische Grundlagen und empirische Fallstudien zu kindlichen Strukturierungsprozessen mathematischer Anschauungsmittel. Hildesheim: Franzbecker.
Steiner, H.-G., & Winkelmann, B. (Hrsg.). (1981). Fragen des Geometrieunterrichts. Köln: Aulis Verlag Deubner.
Sträßer, R. (1996). Stoffdidaktik und Ingénierie didactique – ein Vergleich. In G. Kadunz, K. Hermann, G. Ossimitz, & E. Schneider (Hrsg.), Trends und Pespektiven Beiträge zum 7. internationalen Symposium zur "Didaktik der Mathematik" in Klagenfurt (Bd. 23, S. 369-376). Wien: Hölder-Pichler-Tempsky.
Thurstone, L. L. (1950). Some primary abilities in visual thinking (Psychometric Laboratory Research Report Nr. 59). Chicago: University of Chicago Press.
Trudeau, R. (1998). Die geometrische Revolution. Basel: Birkhäuser.
Ufer, S., Heinze, A., Kuntze, S., & Rudolph-Albert, F. (2009). Beweisen und Begründen im Mathematikunterricht: Die Rolle von Methodenwissen als Komponente der Beweiskompetenz. Journal für Mathematik-Didaktik, 30(1), 30–54.
Van Hiele, P. M. (1986). Structure and insight. A theory of mathematics education. Orlando: Academic.
Volkert, K. (1986). Die Krise der Anschauung: Eine Studie zu formalen und heuristischen Verfahren in der Mathematik seit 1850. Göttingen: Vandenhoek & Rupprecht.
Vollrath, H. J. (1981). Geometrie im Mathematikunterricht – eine Analyse neuerer Entwicklungen. In H.-G. Steiner & B. Winkelmann (Hrsg.), Fragen des Geometrieunterrichts (Bd. 1, S. 11–27). Köln: Aulis Verlag Deubner.
Vygotsky, L. (1978). Mind in society: The development of higher psychological process. Cambridge: Harvard University Press.
Weigand, H.-G., et al. (Hrsg.). (2009). Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag.
Whiteley, W. (1999). The decline and rise of geometry in the 20th century North America. CMESG Conference.
Winter, H. (1995). Mathematikunterricht und Allgemeinbildung. Mitteilungen der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik, 61, 37–46.
Wittmann, E. C. (1985). Objekte – Operationen – Wirkungen: Das operative Prinzip in der Mathematikdidaktik. mathematik lehren, 11(August), 7–11.
Wittmann, E. C. (1987). Elementargeometrie und Wirklichkeit, Einführung in geometrisches Denken. Braunschweig: Vieweg.
Wittmann, G. (2003). Schülerkonzepte zur analytischen Geometrie. Mathematikhistorische, epistemologische und empirische Untersuchungen. Hildesheim: Franzbecker.
Wittmann, B. (2010). Jean Piaget und die spontane Geometrie des Kindes. Eine Studie zur Kinderzeichnung als psychologisches Instrument. Berlin: Max-Planck-Institut für Wissenschaftsgeschichte. http://www.mpiwg-berlin.mpg.de/PDF/FS_11_Wittmann_dt.pdf. Zugegriffen: 21. März 2013.
Wollring, B. (1994). Räumliche Darstellungen bei Kindern und Heranwachsenden: Erfahrungen mit Bildern und Methoden. In H. Kautschitsch & W. Metzler (Hrsg.), Anschauliche und Experimentelle Mathematik II. 11. und 12. Workshop zur „Visualisierung in der Mathematik“ in Klagenfurt im Juli 1991 und 1992 (S. 67–86). Wien: Hölder-Pichler-Tempsky.
Wollring, B. (1998). Eigenproduktionen von Grundschülern zur Raumgeometrie – Positionen zur Mathematikdidaktik für die Grundschule. In M. Neubrand (Hrsg.), Beiträge zum Mathematikunterricht 1998. Vorträge auf der 32. Tagung für Didaktik der Mathematik vom 2. bis 6. März 1998 in München (S. 58–66). Hildesheim: Franzbecker.
Wollring, B. (2001). Examples of spatial geometric eigenproduction in primary children’s drawings – reflection on the didactics of mathematics for primary schools. In H.-G. Weigand (Hrsg.), Developments in mathematics education in Germany (S. 135–146). Hildesheim: Franzbecker.
Wußing, H., & Alten, H.-W. (2009a). 6000 Jahre Mathematik: Eine kulturgeschichtliche Zeitreise – 1. Von den Anfängen bis Leibniz und Newton. Berlin: Springer.
Wußing, H., & Zeidler, E. (2009b). 6000 Jahre Mathematik: Eine kulturgeschichtliche Zeitreise – 2. Von Euler bis zur Gegenwart. Berlin: Springer.
Zech, F. (1998). Grundkurs Mathematikdidaktik: Theoretische und praktische Anleitungen für das Lehren und Lernen von Mathematik. Weinheim: Beltz.
Author information
Authors and Affiliations
Corresponding author
Editor information
Editors and Affiliations
Rights and permissions
Copyright information
© 2015 Springer Berlin Heidelberg
About this chapter
Cite this chapter
Hattermann, M., Kadunz, G., Rezat, S., Sträßer, R. (2015). Geometrie: Leitidee Raum und Form. In: Bruder, R., Hefendehl-Hebeker, L., Schmidt-Thieme, B., Weigand, HG. (eds) Handbuch der Mathematikdidaktik. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-35119-8_7
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-35119-8_7
Published:
Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
Print ISBN: 978-3-642-35118-1
Online ISBN: 978-3-642-35119-8
eBook Packages: Life Science and Basic Disciplines (German Language)