Differentialrechnung

Zusammenfassung

Die Grundaufgabe der Differentialrechnung ist ein Tangentenproblem: Gesucht ist eine Gerade, die den Graphen einer gegebenen, reellwertigen Funktion y = f(x) in einem vorgegebenen Punkt P lediglich einmalig berührt. Das Tangentenproblem kann mit elementaren Methoden nur für wenige Kurven gelöst werden. Für den allgemeinen Fall muss der Grenzwertbegriff herangezogen werden. Die grundlegenden Ideen hierfür gehen auf Leibniz und Newton zurück. Hier werden sie kurz anschaulich erläutert. Die gesuchte Tangente wird näherungsweise durch eine Sekante ersetzt, die durch den Punkt P und einen benachbarten Kurvenpunkt Q verläuft. Die zugehörige Sekantensteigung kann als Näherungswert für die (noch unbekannte) Tangentensteigung angesehen werden. Nähert sich der Punkt Q auf dem Graphen von y = f(x) immer mehr dem Punkt P, so kann „im Normalfall“ erwartet werden, dass die Sekantensteigungen einem wohldefinierten (endlichen) Grenzwert zustreben. Dieser Grenzwert wird – falls er existiert – als Steigung der Tangente im Punkt P an die zu y = f(x) gehörende Funktionskurve definiert (!).