Advertisement

Einige Anwendungen der Linearen Algebra

  • Peter KnabnerEmail author
  • Wolf BarthEmail author
Chapter
Part of the Springer-Lehrbuch book series (SLB)

Zusammenfassung

Man betrachte folgendes kleines LGS
$$\begin{aligned} \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1-10^{-16} \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} 20 \\ 20-10^{-15} \\ \end{array} \right). \end{aligned}$$
Die eindeutige Lösung wird von der Mathematik-Software MATLAB Version 7.11 (MATLAB-Befehl A\b) als
$$\begin{aligned} \left( \begin{array}{c} \widetilde x_1 \\ \widetilde x_2 \\ \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} 20 \\ 0 \\ \end{array} \right) \end{aligned}$$
angegeben. Tatsächlich ist sie aber
$$\begin{aligned} \left( \begin{array}{c} x_1\\ x_2 \\ \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} 10 \\ 10 \\ \end{array} \right). \end{aligned}$$
MATLAB erkennt zumindest, dass ein Problem vorliegt: „Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate.“ Bisher sind wir immer davon ausgegangen, dass Rechenoperationen im zugrunde gelegten Zahlkörper \(\mathbb{R}\) exakt durchgeführt werden. Tatsächlich geht aber jedes Rechnen, egal ob mit der Hand oder auf einem Computer mit Runden einher, da es nur möglich ist, endlich viele Stellen einer Zahl zu berücksichtigen. Diese Rundungsfehler können im Sinne einer a posteriori Fehleranalyse auch als Fehler in den Eingangsdaten der rechten Seite und der Matrix interpretiert werden, die dann mit einer exakten reellen Arithmetik verarbeitet werden. Hinzu kommt, dass für (fast) jedes „reale“ Problem \(\vec{b}\) oder A nur gestört vorliegen. Die Störungen von \(\vec{b}\) sind als „Datenfehler“, die von A als „Modellfehler“ interpretierbar.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013

Authors and Affiliations

  1. 1.Department Mathematik, Lehrstuhl Angewandte Mathematik 1Universität Erlangen-NürnbergErlangenDeutschland
  2. 2.Department Mathematik, Emmy-Noether-ZentrumUniversität Erlangen-NürnbergErlangenDeutschland

Personalised recommendations