Zusammenfassung
Das Hilbertprogramm (auch "Hilbertsche Programm", "Hilbert-Programm", "Hilberts Programm"; im Englischen "Hilbert’s Program" oder "Hilbert’s Programme"; im Folgenden kurz: "HP") ist ein Forschungsprogramm für eine neue mathematische Disziplin, die Beweistheorie, wie sie von David Hilbert Anfang des 20. Jahrhunderts entworfen wurde. Die ersten Ansätze stammen aus den ersten Jahren des 20. Jahrhunderts, die eigentliche Konzeption des Programms, die Formulierung der Ziele und die Entwicklung der ersten Methoden aber aus den 1920er Jahren. 1917/18 hatte Hilbert gemeinsam mit Paul Bernays die Arbeit an seinen früheren Ideen wieder aufgenommen.
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Notes
- 1.
Nach Sieg, Hilbert's Programs [1999], 27, werden die heute als charakteristisch geltenden Ausdrücke „finite Mathematik“ und „Hilbertsche Beweistheorie“ zum ersten Mal in der von Hilbert gehaltenen und von Paul Bernays ausgearbeiteten Vorlesung vom Wintersemester 1921/22 verwendet; vgl. Hilbert, Wintersemester 21/22 (Bernays) [1922a*]. Kurz darauf treten sie auch in den Publikationen auf, bspw. „Beweistheorie“ in Hilbert, Die logischen Grundlagen [1923], 151.
- 2.
Vgl. bspw. Pohlers, Proof Theory [1989].
- 3.
So anscheinend in Peckhaus, Hilbertprogramm [1990].
- 4.
Hilbert, Neubegründung [1922], 169–170.
- 5.
Vgl. Hilbert, Neubegründung [1922], 174.
- 6.
Hilbert, Die logischen Grundlagen [1923], 152–153.
- 7.
Vgl. Hilbert, Grundlegung Zahlenlehre [1931], 192. Die Formulierung aus dem Vortrag von 1930 lautet:
-
(HP1*)
Alle bisherige Mathematik soll formalisiert werden, „so daß die eigentliche Mathematik oder die Mathematik im engeren Sinne zu einem Bestande an Formeln wird.“
-
(HP2*)
„Zu der eigentlichen so formalisierten Mathematik kommt eine gewissermaßen neue Mathematik, eine Metamathematik, die zur Sicherung jener notwendig ist, in der – im Gegensatz zu den rein formalen Schlußweisen der eigentlichen Mathematik – das inhaltliche Schließen zur Anwendung kommt, aber lediglich zum Nachweis der Widerspruchsfreiheit der Axiome.“
Die beiden feinen Unterschiede, daß in (HP1*) die Mathematik zu einem Formelbestand wird, während sie in (HP1) noch „beweisbarer“ Formelbestand genannt wurde, und daß in (HP2*) die Metamathematik zur eigentlichen, gemäß (HP1*) formalisierten Mathematik hinzutritt, während in (HP2) nur von der eigentlichen Mathematik die Rede ist, sind bloß leichte Präzisierungen.
-
(HP1*)
- 8.
In Hilbert, Die logischen Grundlagen [1923], 153, sowie in Hilbert, Grundlegung Zahlenlehre [1931], 192, ist an dieser Stelle dann auch von „Abbildern“ (allerdings der „mathematischen Gedanken“) die Rede.
- 9.
Hilberts Äußerungen beziehen sich „de dicto“ auf die gesamte Mathematik. Tatsächlich stellt er aber im weiteren Verlauf seiner beiden Vorträge nur auf die Zahlentheorie ab, ohne diese Einschränkung auch nur zu erwähnen. Der erweiterte Anspruch entspricht allerdings genau Hilberts Vortragstitel und seiner andernorts ausdrücklichen Intention, die Zahlentheorie nur als erstes, weil besonders fundamentales Beispiel zu behandeln.
- 10.
Daß es sich bei der Metamathematik auch um Mathematik handelt, wird in (HP2) expressis verbis gesagt. Dies ist anderslautenden Darstellungen entgegenzuhalten, bspw. Peckhaus, Impliziert [2005b], 17: „aber Metamathematik ist keine Mathematik“.
- 11.
Dieser Vorschlag stammt von Stephen G. Simpson, vgl. Simpson, Partial Realizations [1988], 350–351.
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Tapp, C. (2013). Das Hilbertprogramm und seine Ziele. In: An den Grenzen des Endlichen. Mathematik im Kontext. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-29654-3_2
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Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
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