Zusammenfassung
Das Jahr 1932 markiert einen wichtigen Durchbruch bei der Verfolgung des Hilbertprogramms. Kurt Gödel und Gerhard Gentzen gelang es unabhängig voneinander, ein unerwartetes Resultat zu erzielen. Sie konnten zeigen, daß die intuitionistische und die klassische Zahlentheorie in bestimmter Hinsicht gleichstark sind.
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Notes
- 1.
Gödel, Zur intuitionistischen [1933e]. Gentzen hat Gödel die Priorität eingeräumt und sein schon im Druck befindliches Manuskript zurückgezogen.
- 2.
Vgl. auch George/Velleman, Philosophies [2002], 121–122; wobei allerdings zu sagen ist, daß sich HA im Allgemeinen nicht, wie von den Autoren behauptet, schlicht durch Ersetzung der klassischen Logik durch intuitionistische Logik aus PA ergibt. In Abhängigkeit von der genauen Fassung von PA sind ggf. weitere Anpassungen der zahlentheoretischen Axiome nötig, die jedoch unter klassischer Logik äquivalent zur Ausgangsdarstellung sind. Selbstverständlich ergibt sich PA aus HA, wenn man die intuitionistische durch klassische Logik ersetzt; aber im Allgemeinen nicht andersherum.
- 3.
Wie man heute weiß, geht dies noch viel weiter. Auch für stärkere Theorien gilt, daß die klassische und die intuitionistische Version der Theorie die gleichen Π 02 -Sätze beweisen. Insbesondere stimmen dann die beweisbar rekursiven Funktionen beider Versionen überein. (Für den Hinweis darauf danke ich Wolfram Pohlers.)
- 4.
Heyting, Logik [1930a].
- 5.
Heyting, Mathematik [1930b].
- 6.
Herbrand, Sur la non-contradiction [1931]. Gödel diskutiert auch, wie sich sein Beweis auf das andere System übertragen läßt; vgl. Gödel, Zur intuitionistischen [1933e], 288–289.
- 7.
Vgl. Kolmogorov, Über das Prinzip [1925]. Über diese Arbeit stellt Hesseling, Gnomes [2003] fest, daß sie zwar sachlich ins Zentrum der Debatte um den Brouwerschen Intuitionismus gehörte, in der faktischen Gemengelage allerdings kaum eine Rolle spielte. Ein Einfluß dieser Arbeit auf die faktischen Diskussionsverläufe ist nach van Atten, Hesseling Rezension [2004], 426, nur über Glivenko denkbar, und zwar einerseits indirekt über seine Arbeit Glivenko, Sur quelques points [1929] und andererseits direkt über seinen Briefwechsel mit Heyting (publiziert in Troelstra, On the Early [1990], 3–17).
- 8.
Vgl. auch Troelstras Einführung zu Gödel, Zur intuitionistischen [1933e], 282.
- 9.
„Nahezu“ bedeutet hier: Natürlich beweisen die klassische und die intuitionistische Variante nicht die gleichen Sätze, aber eben die gleichen Π 02 -Sätze, und damit haben sie dieselben beweisbar rekursiven Funktionen, siehe auch oben Anm. 3.
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Tapp, C. (2013). Intuitionistische und Klassische Zahlentheorie: HA und PA. In: An den Grenzen des Endlichen. Mathematik im Kontext. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-29654-3_11
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Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
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