# Introduction to Monte Carlo (MC) Method: Random Variables in Stochastic Models

• Bogusław Bieda
Chapter

## Abstract

According to its definition, stochastic simulation model should contain at least one random variable (Snopkowski 2007). Random variable, being a numerical representation of the outcome of a random experiment, is a key term in statistical analysis (Barańska 2008) and, as observed by Snopkowski (2007), is an essential element of every stochastic simulation. In literature, there are a number of different definitions of a random variable. Stanisz (2006) defines random variable as a “function determined on an elementary event space, which assigns a real number with defined probability to every elementary event. Therefore, this value cannot be predicted in advance, as it depends on a random event.” A similar definition is provided by Barańska (2008). As claimed by Benjamin and Cornell (1977), random variable is “a variable that assumes numerical values whose outcome cannot be predicted with complete certainty.” Bobrowski (1980), on the other hand, defines random variable as “a variable that, as a result of an experiment, can assume, with defined probability, one of the values of a certain set of real numbers”, and Aczel (2000) states that “random variable is a variable whose assumed values depend on chance”. Sokołowski (2004), however, apart from quoting a popular definition of random variable, analyses the instances of carelessness and errors that he has encountered in many other studies, regarding random variables.

## Keywords

Monte Carlo Method Monte Carlo Monte Carlo Simulation Random Number Generator Stochastic Simulation
These keywords were added by machine and not by the authors. This process is experimental and the keywords may be updated as the learning algorithm improves.

## References

1. Abbott, L.S.: EPA lists conditions for accepting probabilistic risk analyses. http://www.riskworld.com/NEWS/97q2/NW7AA036.HTM (2009). Accessed 21 May 2009
2. Aczel, A.D.: Statystyka w zarządzaniu. PWN, Warsaw (2000) (the original: Complete BusinessStatistic. Richard D. Irwin Inc. Boston Sydney, 1993)Google Scholar
3. Barańska, A.: Elementy Probabilistyki i Statystyki Matematycznej w Inżynierii Środowiska. AGH Uczelniane Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne, Kraków (2008)Google Scholar
4. Benjamin, J., Cornell, A.: Rachunek prawdopodobieństwa, statystyka matematyczna i teoria decyzji dla inżynierów. WNT, Warsaw (1977) (the original: Probability, Statistics and Decision for Civil Engineers. McGraw-Hill, Inc. 1970)Google Scholar
5. Bieda, B.: Zastosowanie Metody Monte Carlo Do Analizy Ryzyka Inwestycyjnego, Materiały Konferencyjne Wydziału Zarządzania AGH. Wybrane Uwarunkowania Działalności Ekonomicznej, Kraków (2000)Google Scholar
6. Bobrowski, D.: Probabilistyka w zastosowaniach technicznych. WNT, Warsaw (1980)Google Scholar
7. EPA, U.S.: Environmental protection agency guiding principles for Monte Carlo analysis. Risk Assessment Forum, Washington DC: EPA/630/R-97/001 (1997)Google Scholar
8. Evans, J.R., Olson, D.L.: Introduction in Simulation and Risk Analysis. Prentice Hall, New Jersey (1998)Google Scholar
9. Gajda, J.: Prognozowanie i symulacje a decyzje gospodarcze. C. H. Beck, Warsaw (2001)Google Scholar
11. Heermann, D.W.: Podstawy Symulacji Komputerowych w Fizyce. Wyd. Naukowo-Techniczne, Warsaw (1997)Google Scholar
12. Hoła, B., Mrozowicz, J.: Modelowanie procesów budowlanych o charakterze losowym. Dolnośląskie Wydawnictwo Edukacyjne, Wrocław (2003)Google Scholar
13. Janicki, A., Izydorczyk, A.: Komputerowe metody w modelowaniu stochastycznym. Modele w finansach, technice i biologii. Algorytmy numeryczne i statystyczne. Symulacja i wizualizacja zjawisko losowych. Wyd. Naukowo-Techniczne, Warsaw (2001)Google Scholar
14. Kaczmarek, T.T.: Zarządzanie ryzykiem handlowym i finansowym dla praktyków. Ośrodek Doradztwa i Doskonalenia Kadr, Gdańsk (1999)Google Scholar
15. Kaufmann, A., Gupta, M.M.: Introduction to Fuzzy Arithmetic: Theory and Applications. Van Nostrand Reinhold, New York (1985)Google Scholar
16. Kirchner, T.B.: QS-CALC: An Interpreter for Uncertainty Propagation. Quatenary Software, Fort Collins CO (1992)Google Scholar
17. Koleśnik, K., Huzar, Z., Fryżlewicz, Z.: Symulacja komputerowa. Wydawnictwo Politechniki Wrocławskiej, Wrocław (1976)Google Scholar
18. Kowalski, Z., Kulczycka, J., Góralczyk, M.: Ekologiczna ocena cyklu życia procesów wytwórczych (LCA). Wydawnictwo naukowe PWN, Warsaw (2007)Google Scholar
19. Łukaszewicz, R.: Dynamika Systemów Zarządzania. PWN, Warsaw (1975)Google Scholar
20. Moore, R.E.: Interval Analysis. Prentice-Hall, Englewood Cliffs/NJ (1966)Google Scholar
21. Nadal, M., Kumar, V., Schumacher, M., Domingo, J.L.: Applicability of a Neuroprobabilistic integral risk index for the environmental management of polluted areas: a case study. Risk. Anal. 28(2), 271–286 (2008)
22. Naylor, T.H.: Modelowanie cyfrowe systemów ekonomicznych. PWN, Warsaw (1975)Google Scholar
23. Neumaier, A.: Interval Methods for Systems of Equations. Cambridge University Press, Cambridge (1990)Google Scholar
24. Öberg, T., Bergbäck, B.: A review of probabilistic risk assessment of contaminanted land. J. Soils. Sediments. 5, 213–224 (2005)
25. Polak, A.G., Mroczka, J., Zapaśnik, P.: Redukcja błędów systematycznych w pomiarach nieinwazyjnych z wykorzystaniem sztucznych sieci neuronowych. XII Konferencja Naukowa Biocybernetyka I Inżynieria Biomedyczna, Warsaw, 28–30/11/2001, 789–793 (2001)Google Scholar
26. Polak, A.G.: Pomiary pośrednie wykorzystujace techniki modelowania matematycznego w badaniach układu oddechowego. Oficyna Wydwnicza Politechniki Wrocławskiej, Wroclaw (2007)Google Scholar
27. Price, P.S., Su, S.H., Harrington, J.R., Keeman, R.E.: Uncertainty and variation in indirect exposure assessments: an analysis of exposure to tetrachlorodibenzo-p-dioxin from a beef consumptionpathway. Risk. Anal. 16, 262–277 (1996)Google Scholar
28. Ripley, B.D.: Stochastic Simulation. Wiley, New Jersey (1987)
29. Róg, P.: Symulacja procesów produkcyjnych w warunkach niepewności probabilistycznej oraz rozmytej. http://zsiie.icis.pcz.pl/opisy_naszej_pracy/procesy_produkcyjne.html (2010). Accessed 31 May 2010
30. Sanga, R.N., Bartell, S.M., Ponce, R.A., Boischio, A.A.P., Joiris, C.R., Pierce, C.H., Faustmman, E.M.: Effects on uncertainties on exposure estimates to methylmercury: a Monte Carlo analysis of exposure biomarkers versus dietary recall estimation. Risk. Anal. 21, 859–868 (2001)
31. Seber, G.A.F.: The Estimation of Animal Abundance. Griffin, London (1973)Google Scholar
32. Smith, R.: Use of Monte Carlo simulation for human exposure assessment at a superfund site. Risk. Anal. 14(4), 433–439 (2006)
33. Snopkowski, R.: Symulacja stochastyczna. AGH Uczelniane Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne, Kraków (2007)Google Scholar
34. Sokołowski, A.: O niewłaściwym stosowaniu metod statystycznych, pp. 5–14. Statystyka i Data Miting w Badaniach Naukowych. StatSoft, Warsaw-Kraków (2004)Google Scholar
35. Springer, M.D.: The Algebra of Random Variable. Wiley, New York (1979)Google Scholar
36. Stanisz, A.: Przystępny kurs statystyki z zastosowaniem STATYSTICA PL na przykładach medycyny, vol. 1. Statystyki podstawowe. StatSoft Polska Sp. z o.o, Kraków (2006)Google Scholar
37. Zadeh, L.: Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility. Fuzzy. Set. Syst. 1, 3–28 (1978)
38. Zdanowicz, R.: Modelowanie i symulacja procesów wytwarzania. Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice (2002)Google Scholar
39. Pawłowski, Z.: Statystyka matematyczna. PWN, Warszawa (1976)Google Scholar
40. Wajs,W.: Modele statystyczne w medycynie. In Tadeusiewicz, R., Wajs, W. (eds.) AGH Uczelniane Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne, Kraká;w (1999)Google Scholar
41. Ryder, NB.: The Cohort as a Concept in the Study of Social Change. American Sociological Review, vol. 30, No. 6, 843–861 (1965)Google Scholar