Zusammenfassung
Das Wasserstoffatom ist ein konkretes Beispiel für den allgemeinen Fall eines Zwei-Körper-Problems, bei dem zwei miteinander wechselwirkende Körper ohne sonstige äußere Kräfte betrachtet werden. Die Gesamtenergie dieses Systems setzt sich zusammen aus den kinetischen Energien der beiden Körper sowie der potenziellen Energie, also der Wechselwirkung V zwischen ihnen:
Wir nehmen im Folgenden an, dass das Potenzial nur von der Relativkoordinate r 1 - r 2 abhängt, also V = V(r 1 - r 2) gilt. Unter dieser Voraussetzung kann man das Problem auf ein äquivalentes Ein-Körper-Problem reduzieren; Spezialisierung auf Coulomb-Wechselwirkung von Punktladungen führt dann in der quantenmechanischen Behandlung auf die bekannte Form des Wasserstoffspektrums.
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Notes
- 1.
Die Wechselwirkung der beiden Körper hängt also nicht von der absoluten Lage im Raum, sondern nur von ihrer relativen Position ab.
- 2.
Hat einer der Körper eine sehr viel größere Masse als der andere ( \(m_{1}\gg m_{2}\), z. B. Wasserstoffatom), gilt \(\mu\approx m_{2}\); sind beide beide Massen gleich (\(m_{1}=m_{2}\), z. B. Positronium), gilt \(\mu=m_{1}/2\).
- 3.
Eine noch kompaktere Schreibweise (die wir im Folgenden allerdings nicht benötigen) lässt sich mithilfe des Radialimpulses
$$p_{r}=\tfrac{\hbar}{i}\tfrac{1}{r}\tfrac{\partial}{\partial r}r=\tfrac{\hbar}{i}\left(\tfrac{\partial}{\partial r}+\tfrac{1}{r}\right)$$(17.7)erreichen, nämlich
$$\mathbf{p}^{2}=p_{r}^{2}+\tfrac{\mathbf{l}^{2}}{r^{2}}\quad\text{bzw.}\quad\Delta _{{\mathbf{r}}}=-\tfrac{p_{r}^{2}}{\hbar^{2}}-\tfrac{\mathbf{l}^{2}}{\hbar^{2}r^{2}}$$(17.8)Es gilt \(\left[r,p_{r}\right]=i\hbar\).
- 4.
Die Abhängigkeit von \(\mu\) sowie den Daten des Potenzials wird generell nicht notiert.
- 5.
Es gilt \(\int Y_{l}^{{m\ast}}\left(\vartheta,\varphi\right)Y_{L}^{M}\left(\vartheta,\varphi\right)d\Omega=\delta _{{Ll}}\delta _{{Mm}}\) .
- 6.
Reduktionen dieser Art erleichtern das Leben ungeheuer, sowohl für theoretische als auch numerische Behandlungen.
- 7.
Die irreguläre Lösung verhält sich am Ursprung \(\sim r^{{-l}}\).
- 8.
Wir wiederholen die Bemerkung aus Kap. 1 (Band 1), dass der in der SGl auftauchende Term \(V\) zwar die potenzielle Energie darstellt, üblicherweise aber dennoch ‘Potenzial’ genannt wird. In der Elektrodynamik ist \(V(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon _{0}}\frac{q}{r}\) das Potenzial einer Punktladung \(q\). Da in der QM \(V(r)\) für die potenzielle Energie steht, treten zwei Ladungen auf.
- 9.
Gelegentlich auch etwas irreführend Radius des Wasserstoffatoms genannt (tatsächlich hat ja das Wasserstoffatom keinen definierten Radius).
- 10.
Eine andere Lösungsmöglichkeit besteht zum Beispiel darin, in einem Werk über ‘Spezielle Funktionen’ wie z. B. Abramowitz nachzuschlagen und sich zu überzeugen, dass die Lösung in Form spezieller Funktionen formulierbar ist; hier sind das Laguerre‐Polynome, siehe weiter unten. Eine ganz andere Methode stellt die algebraische Behandlung dar, Stichwort Lenzscher Vektor, siehe Anhang G (Band 2) ‘Lenzscher Vektor’.
- 11.
Dass für die Radialfunktion und für die Rydberg‐Konstante dasselbe Symbol \(R\) benutzt wird, ist didaktisch vielleicht nicht sehr geschickt, aber üblich.
- 12.
Wegen der Abhängigkeit von der reduzierten Masse ist die Rydberg‐Konstante für Positronium annähernd 1/2 mal so groß wie für Wasserstoff. Auch für ‘normalen’ und schweren Wasserstoff unterscheiden sich die Rydberg‐Konstanten wegen der Massenabhängigkeit. Damit hat man die Möglichkeit, spektroskopisch die Anteile der beiden Isotope festzustellen. Im Übrigen ist auch die Schreibweise
$$R_{{\infty}}=\tfrac{m_{e}\mathrm{e}^{4}}{2\hbar^{2}\left(4\pi\varepsilon _{0}\right)^{2}}$$üblich, die man für eine unendlich große Kernmasse erhält.
- 13.
Ursache ist, dass mit dem Lenzschen Vektor eine weitere Erhaltungsgröße existiert, siehe Anhang G (Band 2) ‘Lenzscher Vektor’.
- 14.
Wenn man die Wechselwirkung zwischen Elektron und Kern realistischer beschreibt, ändert sich das Termschema, siehe Kap. 21.
- 15.
Englisch: complete system of commuting variables (CSCO).
- 16.
Wenn sie nicht entartet sind, genügt ja die Angabe des Energieeigenwertes.
- 17.
Sowie der Spinquantenzahl \(s_{z},\) falls entsprechende Anteile in den Hamiltonoperator eingebaut wurden, siehe dazu Kap. 19, Störungstheorie.
- 18.
Wenn zwei Operatoren \(A\) und \(B\) mit einem dritten Operator \(C\) kommutieren, folgt daraus nicht zwingend \(\left[A,B\right]=0\). Ein Beispiel für dieses Kontextualität genannte Verhalten bilden die Komponenten des Drehimpulsoperators: \(\left[l_{x},\mathbf{l}^{2}\right]=0\), \(\left[l_{y},\mathbf{l}^{2}\right]=0\), \(\left[l_{x},l_{y}\right]\neq 0\). Für ein VSKO braucht man also Observablen, die mit H und paarweise miteinander kommutieren. Kontextualität bedeutet, dass das Ergebnis einer Messung von anderen gleichzeitig durchgeführten Messungen abhängig ist; vgl. auch Kap. 27.
- 19.
Siehe dazu auch den Anhang L (Band 2) zur Galilei‐Transformation.
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Pade, J. (2012). Das Wasserstoffatom. In: Quantenmechanik zu Fuß 2. Springer-Lehrbuch. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-25314-0_3
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