Zusammenfassung
Der im vorigen Kapitel gewählte Zugang zur QM basiert auf der Beschreibung der zeitlichen Entwicklung mittels einer Differenzialgleichung. In diesem Kapitel wählen wir einen ganz anderen Einstieg. Es geht hier (vorerst) nicht um die Schrödingergleichung oder eine andere Beschreibung des Verhaltens in Raum und Zeit; das Hauptgewicht liegt darauf, wie man (zunächst zeitunabhängig) Zustände definieren kann.
Auch hier starten wir von klassischen Formulierungen, die wir dann quantenmechanisch ‚aufmöbeln‘. Dazu zeigen wir zunächst, dass wir unter bestimmten Umständen elektromagnetische Wellen in einem zweidimensionalen komplexen Vektorraum ansiedeln können. Wie aus der Optik bekannt, können wir die Intensitäten als Betragsquadrate der Amplituden formulieren. Nach dieser Wiederholung bekannter Zusammenhänge erweitern wir die Überlegung auf den quantenmechanischen Fall, und zwar durch eine Uminterpretation, die zwar nicht zwingend, aber doch sehr plausibel ist. Die Amplituden führen nun nicht auf Intensitäten, sondern auf Wahrscheinlichkeiten. An dieser Stelle werden wir zum ersten Mal sehen, dass der Begriff Messung in der QM nicht so trivial wie in der Klassischen Mechanik ist.
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Notes
- 1.
Falls der Begriff nicht (mehr) bekannt ist: In Anhang G (Band 1) ‚Aus der linearen Algebra 2‘ sind die wesentlichen Grundbegriffe zusammengestellt, außerdem kommen wir in Kap. 4 darauf zurück. Hier genügt die Information, dass z. B. die Menge aller Vektoren \(\left(\begin{smallmatrix}a_{{1}}\\ a_{{2}}\end{smallmatrix}\right)\) mit \(a_{{i}}\in\mathbb{C}\) einen zweidimensionalen komplexen Vektorraum bildet. Eine wichtige Eigenschaft ist, dass jede Linearkombination zweier Vektoren wieder einen zulässigen Vektor darstellt.
- 2.
Wir bemerken, dass eine Lichtwelle nur näherungsweise durch eine ebene Welle beschrieben wird, da diese an allen Orten und für alle Zeiten dieselbe Größe bzw. Intensität besitzt. Die Näherung ist aber aus verschiedenen Gründen üblich.
- 3.
In diesem Zusammenhang auch Lichtvektor genannt.
- 4.
Die relative Phase könnte natürlich statt bei der \(y\)-Komponente genauso gut bei der \(x\)‐Komponente aufgeführt werden.
- 5.
Besonders in der Optik werden zuweilen rechts- und linkszirkulare Polarisation genau andersherum definiert.
- 6.
Wir wollen im Folgenden die Vektoren mit Matrizen multiplizieren. In der üblichen Schreibweise wirkt eine Matrix von links auf einen Vektor, der somit – den Regeln der Matrizenrechnung gemäß – ein Spaltenvektor sein muss. Siehe auch Anhang F (Band 1) zum Thema Lineare Algebra.
- 7.
Die Länge des Vektors \(\left(\begin{smallmatrix}1\\ \mathrm{i}\end{smallmatrix}\right)\) beträgt \(\sqrt{2}\); die Begründung tragen wir in Kap. 4 nach.
- 8.
Zur Kennzeichnung von Darstellungen sind verschiedene Symbole in Gebrauch; Fließbach verwendet beispielsweise \(:=\). Im Übrigen markieren viele Autoren Darstellungen nicht durch ein besonderes Symbol, sondern schreiben schlicht \(=\).
- 9.
Auch die allgemeine mathematische Modellierung verwendet Konzepte, die in der Wirklichkeit nur annähernd realisiert sind. Ein altehrwürdiges Beispiel ist die Euklidische Geometrie mit ihren Punkten und Geraden, die es streng genommen in unserer Umwelt nirgendwo gibt. Dennoch zweifelt niemand daran, dass die Euklidische Geometrie für praktische Rechnungen enorm nützlich ist. ‚Although this may be seen as a paradox, all exact science is dominated by the idea of approximation‘ (Bertrand Russell).
- 10.
Die meisten theoretischen Ergebnisse beruhen auf Näherungsrechnungen oder numerischen Rechnungen, sind also nicht streng exakt. Das gilt naturgemäß erst recht für experimentelle Ergebnisse. Wenn es auch Hochpräzisionsmessungen mit winzigen relativen Fehlern von einem Milliardstel und weniger gibt, so bleibt doch festzuhalten, dass jede Messung ungenau ist. Man kann aber im Allgemeinen diese Ungenauigkeit ziemlich genau angeben, Stichwort Fehlerrechnung.
- 11.
Wenn mehrere Theorien den gleichen Sachverhalt beschreiben, ist die einfachste vorzuziehen (Sparsamkeitsprinzip in der Wissenschaft, auch Occam's razor, Ockhams Rasiermesser genannt; ‚entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem‘).
- 12.
Die aktive Drehung (Drehung des Vektors um \(\vartheta\) gegen den Uhrzeigersinn) lautet \(\left(\begin{smallmatrix}\cos\vartheta&-\sin\vartheta\\ \sin\vartheta&\cos\vartheta\end{smallmatrix}\right)\), die passive Drehung (Drehung des Koordinatensystems) dagegen \(\left(\begin{smallmatrix}\cos\vartheta&\sin\vartheta\\ -\sin\vartheta&\cos\vartheta\end{smallmatrix}\right)\).
- 13.
Vielleicht noch aus der Schule oder dem Praktikum des Grundstudiums bekannt?
- 14.
Einphotonen-Experimente sind heutzutage experimenteller Standard.
- 15.
Wir erinnern daran, dass Photonen (wie auch Elektronen) nach allem, was man bisher weiß, eine unmessbar kleine Ausdehnung haben und in diesem Sinne als Punktobjekte (bzw. Punktteilchen) bezeichnet werden. Sie stellen zwar Licht einer bestimmten Wellenlänge dar, haben aber nicht Ausmaße in der Größenordnung der Wellenlänge dieses Lichtes.
- 16.
Im Vakuum sind Photonen unteilbar, und das gilt auch für die meisten Wechselwirkungen mit Materie. Man muss sich schon anstrengen, um Photonen ‚durchzuschneiden‘. Dies gelingt z. B. bei Wechselwirkung mit bestimmten nichtlinearen Kristallen, wo aus einem Photon zwei energieärmere entstehen (parametrische Fluoreszenz, siehe Anhang I (Band 2) ‚Herstellung verschränkter Photonen‘). Polarisationsmessgeräte sind selbstverständlich so gefertigt, dass sie die Photonen ungeteilt lassen.
- 17.
Im Übrigen auch am ‚Langsamen‘ – auch die Effekte der Relativitätstheorie entziehen sich unserer Lebenserfahrung.
- 18.
Diese Fälle kann man z. B. durch Vorschalten eines weiteren Analysators herstellen, dessen Orientierung \(\varphi+0\) bzw. \(\varphi+\pi/2\) beträgt.
- 19.
Die Systeme müssen sich nicht im gleichen Zustand befinden, nur der Präparationsprozess muss derselbe sein.
- 20.
So wie sich das Interferenzbild beim Doppelspaltversuch auch aus einzelnen Punkten aufbaut.
- 21.
Ein anderes Beispiel für ein Ensemble stellen etwa Elektronen dar, die durch einen Stern-Gerlach-Aufbau und einen Geschwindigkeitsfilter so präpariert sind, dass ihr Spin nach oben zeigt und ihre Geschwindigkeiten in einem bestimmten Bereich \(\left(v-\Updelta v,v+\Updelta v\right)\) liegen; ein weiteres Beispiel bilden Wasserstoffatome, die sich in einem bestimmten angeregten Zustand befinden, wobei sich hier die Präparation auf die Energie bezieht, nicht aber z. B. auf den Drehimpulszustand.
- 22.
Englisch: hidden variables.
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Pade, J. (2012). Polarisation. In: Quantenmechanik zu Fuß 1. Springer-Lehrbuch. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-25227-3_2
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