Zusammenfassung
Wie wir gesehen haben, leben die Zustände der QM in einem (erweiterten) Hilbertraum ℋ. Änderungen dieser Zustände werden durch Operatoren bewirkt; das kann zum Beispiel die zeitliche Entwicklung des Systems selbst oder das Herausfiltern bestimmter Zustände aus einem Gesamtzustand sein.Wir haben den Operatorenzoo der QM zwar schon kennengelernt (hermitesche, unitäre und Projektionsoperatoren), angesichts der zentralen Bedeutung der Operatoren in der QM wollen wir aber in diesem Kapitel noch einige Eigenschaften eingehender besprechen, wobei wir die abstrakte Formulierung zugrunde legen.
This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
Access this chapter
Tax calculation will be finalised at checkout
Purchases are for personal use only
Notes
- 1.
Weiteres Material zu Operatoren findet sich in Anhang I (Band 1).
- 2.
Der Begriff wird allerdings nicht überall gleich definiert und zuweilen auch eher vermieden. Der Grund für diese Ablehnung liegt zum Teil darin, dass die Bezeichnung Observable die Vorstellung nahelegt, dass ohne einen (womöglich auch noch menschlichen) Beobachter (= Observator) physikalische Größen keine Realität gewinnen können. Wir weisen explizit darauf hin, dass für uns der Begriff Observable diese Problematik nicht impliziert, sondern einfach ein terminus technicus im o. a. Sinn ist.
- 3.
Die Spinmatrizen \(s_{{i}}\) hängen mit den Paulimatrizen \(\sigma _{{i}}\) über \(s_{{i}}=\frac{\hbar}{2}\sigma _{{i}}\) zusammen.
- 4.
So ähnlich, wie sich jede Funktion in einen spiegel- und punktsymmetrischen Anteil zerlegen lässt.
- 5.
Wir bemerken, dass die Bezeichnung ‚positiver Operator‘ zwar üblich ist, aber dennoch nichtnegativ oder positiv-semidefinit richtiger wäre. Man kann allerdings auch die Unterscheidung positiv (\(\geq 0\) ) und streng positiv (\(> 0\)) treffen.
- 6.
Es geht sozusagen nicht nur um den Kamm, sondern auch um die Haare, die er kämmt.
- 7.
Ganz abgesehen von der literarischen Verarbeitung, wie zum Beispiel bei David Foster Wallace, Unendlicher Spaß, Kiepenheuer & Witsch 2009: p. 1193–1194: ‚Der Geist sagt, auch ein Feld-Wald-und-Wiesen-Geist könne sich mit Quantengeschwindigkeit bewegen und jederzeit überall sein und in sinfonischer Summe die Gedanken der Lebenden hören […] Der Geist sagt: Es ist eigentlich egal, ob Gately weiß, was der Begriff Quanten bedeutet. Er sagt Im Großen und Ganzen existieren […] Geister in einer ganz anderen heisenbergschen Dimension der Kursänderungen und Zeitverläufe.‘
- 8.
Zwei Unterräume \(\mathcal{H}_{{n}}\) und \(\mathcal{H}_{{m}}\) heißen zueinander orthogonal, wenn jeder Vektor aus \(\mathcal{H}_{{n}}\) orthogonal zu jedem Vektor aus \(\mathcal{H}_{{m}}\) ist.
- 9.
Genau genommen gehört noch die zweite Forderung \(U\alpha\left|\varphi\right\rangle=\alpha U\left|\varphi\right\rangle\) dazu. Für antiunitäre Operatoren \(T\) gilt zwar ebenfalls \(TT^{{\dag}}=T^{{\dag}}T=1\), aber im Gegensatz zu den unitären Operatoren \(T\alpha\left|\varphi\right\rangle=\alpha^{{\ast}}T\left|\varphi\right\rangle\). Antilineare Operatoren tauchen, von der komplexen Konjugation abgesehen, allerdings in der QM nur im Zusammenhang mit der Zeitumkehr auf (siehe Kap. 21 (Band 2)). Deswegen bezeichnet die Forderung \(UU^{{\dag}}=U^{{\dag}}U=1\) so gut wie immer unitäre Operatoren.
- 10.
Da er den Zustand \(\left|\Psi\right\rangle\) sozusagen durch die Zeit treibt, heißt er auch Propagator (lat. propagare = vorwärtstreiben).
- 11.
Man beachte, dass \(H\) bei uns nicht von der Zeit abhängt und wir deswegen diese einfachen Formulierungen erhalten. Propagatoren für zeitabhängige Hamiltonoperatoren lassen sich auch aufstellen, aber das ist etwas aufwendiger.
- 12.
Die Bezeichnung \(p\) hat an dieser Stelle natürlich nichts mit dem Impuls zu tun, sondern mit \(p\) wie \(P\)rojektion.
- 13.
Damit es keine Unklarheiten gibt, wiederholen wir die Bemerkung, dass die letzte Gleichung eine Operatorgleichung ist – es handelt sich schlicht um zwei verschiedene Darstellungen des 1-Operators.
- 14.
Beispielhaft haben wir sie bereits in einer Aufgabe zu Kap. 11 gefunden.
- 15.
Damit haben wir eine Verbindung zur Logik (über \(1\mathop{\hat{=}}\) wahr und \(0\mathop{\hat{=}}\) falsch). In der klassischen Physik sind solche Aussagen (die Größe \(A\) hat den Wert \(a_{{k}}\)) entweder wahr oder falsch; in der QM bzw. Quantenlogik kann die Situation komplexer sein.
- 16.
Mehr zu diesem Thema in Kap. 27 (Band 2).
- 17.
Einige Ausführungen zu Begriffen, die im Zusammenhang mit ‚Messung‘ auftauchen, finden sich in Anhang S (Band 1) ‚System und Messung – einige Begriffe‘.
- 18.
Wir benutzen hier, dass alle Zustände \(\mathrm{e}^{{\mathrm{i}\alpha}}\left|\Psi\right\rangle\) für beliebiges reelles \(\alpha\) physikalisch gleichwertig sind; siehe dazu auch Kap. 14.
- 19.
Beweis im Anhang I (Band 1).
- 20.
Siehe auch den Anhang Q (Band 1) ‚Schrödinger-, Heisenberg- und Wechselwirkungsbild‘.
Author information
Authors and Affiliations
Corresponding author
Rights and permissions
Copyright information
© 2012 Springer-Verlag Berlin Heidelberg
About this chapter
Cite this chapter
Pade, J. (2012). Operatoren. In: Quantenmechanik zu Fuß 1. Springer-Lehrbuch. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-25227-3_13
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-25227-3_13
Published:
Publisher Name: Springer, Berlin, Heidelberg
Print ISBN: 978-3-642-25226-6
Online ISBN: 978-3-642-25227-3
eBook Packages: Life Science and Basic Disciplines (German Language)