Zusammenfassung
Aufbauend auf den Überlegungen des vorangegangenen Kapitels wird in diesem Kapitel das Problem untersucht, wie ein Entscheider Risiken durch Portefeuillebildung mischen und auf diese Weise eine optimale Gesamtposition herstellen kann. Der klassische Anwendungsfall für dieses allgemeine Problem ist die Bildung eines Wertpapierportefeuilles, die im Rahmen der Portefeuilletheorie untersucht wird. Allgemein versteht man unter einem Portefeuille einen Bestand aus verschiedenen Vermögenspositionen. Ein Portefeuille muss also nicht unbedingt nur aus Wertpapieren bestehen. Es kann auch ausschließlich Realinvestitionsprojekte enthalten oder eine Mischung von Realinvestitionen und Wertpapieren.
This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
Access this chapter
Tax calculation will be finalised at checkout
Purchases are for personal use only
Notes
- 1.
Zur optimalen Abstimmung eines Wertpapierportefeuilles mit dem aus einem Realinvestitionsprojekt resultierenden Risiko und zum Einfluss der Portefeuillebildung auf dessen Wert vgl. Kap. 14, Abschn. 14.4.
- 2.
Allgemein würde man von einem gegebenen Bestand an Bargeld und Wertpapieren ausgehen und neue, optimale Bestände an Wertpapieren ermitteln. Aufgrund der folgenden Annahme 5 kann jedoch stets vereinfachend davon ausgegangen werden, der Investor würde zunächst alle Wertpapiere, die er bereits besitzt, verkaufen und daraufhin von dem resultierenden Barvermögen V0 ausgehen. Die Annahme eines gegebenen Barvermögens schränkt also die Allgemeinheit der Darstellungen nicht ein.
- 3.
Der Entscheider könnte ein Interesse daran haben, simultan mit dem optimalen Portefeuille seine optimale Konsumausgabe für den Zeitpunkt 0 zu ermitteln (Kap. 15, Abschn. 15.2). Davon wird hier abgesehen. Über die Höhe dieser Ausgabe sei bereits entschieden, sodass nur noch das Problem zu lösen ist, wie das verbleibende Geldvermögen V0 optimal anzulegen ist, um den Erwartungswert des Nutzens des Endvermögens zu maximieren.
- 4.
In der Realität werden Leerverkäufe im Allgemeinen wie folgt abgewickelt: Der Leerverkäufer leiht sich die Papiere bei einer Finanzinstitution (Bank, Fonds) und verkauft sie an der Börse. Bei Ablauf des Leihvertrags kauft er die Papiere zu den dann maßgeblichen Kursen an der Börse und gibt sie dem Verleiher zurück. Transaktionskosten eines Leerverkaufs resultieren vor allem aus den Leihgebühren, die der Verleiher verlangt. Diese werden wie alle anderen Transaktionskosten über Annahme 5 aus der Betrachtung ausgeschlossen. Zur praktischen Abwicklung, den Problemen und Grenzen des Leerverkaufs vgl. Single (2001) und Shleifer (2000, S. 89–111).
- 5.
Tatsächlich besteht immer eine „Anlagemöglichkeit“ darin, Liquidität zu halten, das Geld also unter die Matratze zu legen. Wird dies als riskolos angesehen, besteht darin eine risikolose Geldanlage zu 0 % (vor Inflation). Wir vernachlässigen auch diese Möglichkeit.
- 6.
Eine Konvexkombination ist eine spezielle Linearkombination. Bei letzterer addieren sich die Gewichte zwar auch zu eins, sie dürfen aber auch negativ sein.
- 7.
Auch ohne eine zinsbringende Geldanlage besteht für den Investor immer die Möglichkeit, Geld zu 0 % anzulegen, indem er Liquidität hält. Sieht er dies als risikolos an, existiert wiederum eine Effizienzlinie, die auf der Abszisse bei V0 beginnt und im Punkt T endet.
- 8.
Allgemein gilt für die Kovarianz zweier Zufallsvariablen x und y:
$$ \begin{aligned} {\rm{Kov}}({\tilde{\rm x}},{\tilde{\rm y}}) & = \sum\nolimits_{\rm{s}} {{\rm{w}}({{\rm{S}}_{\rm{s}}}) \cdot [{{\rm{x}}_{\rm{s}}}}- {\rm{E}}({\tilde{\rm x}})] \cdot [{{\rm{y}}_{\rm{s}}} - {\rm{E}}({\tilde{\rm y}})] \\ & = \sum\nolimits_{\rm{s}} {{\rm{w}}({{\rm{S}}_{\rm{s}}}) \cdot [{{\rm{x}}_{\rm{s}}}}\cdot {{\rm{y}}_{\rm{s}}} - {\rm{E}}({\tilde{\rm x}}) \cdot {{\rm{y}}_{\rm{s}}} - {\rm{E}}({\tilde{\rm y}}) \cdot {{\rm{x}}_{\rm{s}}} + {\rm{E}}({\tilde{\rm x}}) \cdot {\rm{E}}({\tilde{\rm y}})] \\ & = \sum\nolimits_{\rm{s}} {{\rm{w}}({{\rm{S}}_{\rm{s}}}) \cdot {{\rm{x}}_{\rm{s}}}} \cdot {{\rm{y}}_{\rm{s}}} - \sum\nolimits_{\rm{s}} {{\rm{w}}({{\rm{S}}_{\rm{s}}}) \cdot {\rm{E}}({\tilde{\rm x}}) \cdot {{\rm{y}}_{\rm{s}}}} - \sum\nolimits_{\rm{s}} {{\rm{w}}({{\rm{S}}_{\rm{s}}}) \cdot {\rm{E}}({\tilde{\rm y}}) \cdot {{\rm{x}}_{\rm{s}}}} \\ & \quad + \sum\nolimits_{\rm{s}} {{\rm{w}}({{\rm{S}}_{\rm{s}}}) \cdot {\rm{E}}({\tilde{\rm x}}) \cdot {\rm{E}}({\tilde{\rm y}})} \\ & = \sum\nolimits_{\rm{s}} {{\rm{w}}({{\rm{S}}_{\rm{s}}}) \cdot {{\rm{x}}_{\rm{s}}}} \cdot {{\rm{y}}_{\rm{s}}} - {\rm{E}}({\tilde{\rm x}}) \cdot \sum\nolimits_{\rm{s}} {{\rm{w}}({{\rm{S}}_{\rm{s}}}) \cdot {{\rm{y}}_{\rm{s}}}} - {\rm{E}}({\tilde{\rm y}}) \cdot \sum\nolimits_{\rm{s}} {{\rm{w}}({{\rm{S}}_{\rm{s}}}) \cdot {{\rm{x}}_{\rm{s}}}} \\ & \quad + {\rm{E}}({\tilde{\rm x}}) \cdot {\rm{E}}({\tilde{\rm y}}) \cdot \sum\nolimits_{\rm{s}} {{\rm{w}}({{\rm{S}}_{\rm{s}}})} \\ & = \sum\nolimits_{\rm{s}} {{\rm{w}}({{\rm{S}}_{\rm{s}}}) \cdot {{\rm{x}}_{\rm{s}}}} \cdot {{\rm{y}}_{\rm{s}}} - {\rm{E}}({\tilde{\rm x}}) \cdot {\rm{E}}({\tilde{\rm y}}) - {\rm{E}}({\tilde{\rm y}}) \cdot {\rm{E}}({\tilde{\rm x}}) + {\rm{E}}({\tilde{\rm x}}) \cdot {\rm{E}}({\tilde{\rm y}}) \\ & = \sum\nolimits_{\rm{s}} {{\rm{w}}({{\rm{S}}_{\rm{s}}}) \cdot {{\rm{x}}_{\rm{s}}}} \cdot {{\rm{y}}_{\rm{s}}} - {\rm{E}}({\tilde{\rm x}}) \cdot {\rm{E}}({\tilde{\rm y}}). \\\end{aligned} $$Dieser Zusammenghang wurde auch für (8.39.i) verwendet.
- 9.
Aufgrund der relativ starken negativen Korrelation der Wertpapiere WP1 und WP2 kann der Investor durch die Mischung der Wertpapiere Risiken sehr stark reduzieren. Es ist deshalb für ihn optimal, sich sehr stark (um ein Vielfaches seines Geldvermögens) zu verschulden und in eine Mischung der drei riskanten Wertpapiere zu investieren, bei der WP3 leer verkauft wird.
Ergänzende und vertiefende Literatur
Bitz (1981, S. 110–151); Brealey/Myers/Allen (2007, Kapitel 9); Copeland/Weston/Shastri (2004, Kapitel 6); Dinkelbach/Kleine (1996, S. 62–161); Elton/Gruber (1995); Franke/Hax (2009, Kapitel VI.2); Hax (1985, S. 133–145); Ingersoll (1987, S. 65–113); Kruschwitz (2009, Kapitel 5.8); Laux/Schabel (2009, Kapitel IX und X); Markowitz (1952b;1959); Riess (1996); Rudolph (1979, S. 1–59); Schmidt/Terberger (1997, Kapitel 8); Sharpe/Alexander/Bailey (1999, Kapitel 6); Tobin (1958).
Author information
Authors and Affiliations
Corresponding author
Rights and permissions
Copyright information
© 2012 Springer-Verlag Berlin Heidelberg
About this chapter
Cite this chapter
Laux, H., Gillenkirch, R.M., Schenk-Mathes, H.Y. (2012). Mischung von Risiken. In: Entscheidungstheorie. Springer-Lehrbuch. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-23511-5_8
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-23511-5_8
Published:
Publisher Name: Springer, Berlin, Heidelberg
Print ISBN: 978-3-642-23510-8
Online ISBN: 978-3-642-23511-5
eBook Packages: Business and Economics (German Language)