Transformation von Maßen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel behandeln wir die Transformation von Maßen unter messbaren Abbildungen und insbesondere die Transformation des Lebesgue–Maßes unter einer affinen Abbildung im Euklidischen Raum.

Als erstes zeigen wir, dass eine messbare Abbildung jedem Maß auf ihrem Definitionsbereich ein Maß auf ihrem Bildbereich zuordnet; dies ist ein grundlegendes Ergebnis, das gleichzeitig die Bedeutung der Messbarkeit beleuchtet (Abschnitt 6.1). Als nächstes betrachten wir die Translationsinvarianz von Maßen auf der Borelschen σ–Algebra des Euklidischen Raumes und erhalten einerseits eine Charakterisierung des Lebesgue–Maßes unter den translations-invarianten Maßen und andererseits die Aussage, dass das Lebesgue–Maß nicht zu einem translationsinvarianten Maß auf der Potenzmenge des Euklidischen Raumes fortgesetzt werden kann (Abschnitt 6.2). Abschließend bestimmen wir das Bild des Lebesgue–Maßes unter einer linearen oder affinen Abbildung des Euklidischen Raumes (Abschnitt 6.3).