Finite-Differenzen-Methode

Zusammenfassung

Nach der Darstellung der Grundlagen für die Überführung der Differentiale von gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen in finite Differenzen wird die Anwendung der Finite-Differenzen-Methode bei der Ermittlung des Geschwindigkeitsprofils einer Couette-Strömung mit einer quer zur Fließrichtung veränderlichen Viskosität erläutert. In diesem Zusammenhang kommen auch die Lösungsmethoden linearer Gleichungssysteme, wie Matrizen-Methode, Tridiagonal-matrix-Algorithmus, Gaußsches Eliminationsverfahren, die LR-Zerlegung einer Matrix-Gleichung und die Gauß-Seidel-Iteration, zum Einsatz. (Ein Computerprogramm auf der Grundlage des Gaußschen Eliminationsverfahrens steht im Web zur Verfügung).

Im Weiteren wird die Finite-Differenzen-Formulierung der Laplace-Gleichung abgeleitet. Mit den Formulierungen wird in einem Beispiel die zweidimensionale Strömung durch eine Einengung berechnet (Computerprogramm im Web). Für eine zweidimensionale viskose Strömung wird eine Finite-Differenzen-Formulierung auf der Grundlage der Stromfunktion und der Wirbelintensität entwickelt. Die bei viskosen Strömungen auftretenden Probleme werden anhand einer einfachen eindimensionalen Strömung aufgezeigt. Die Druck-Geschwindigkeits-Formulierungen für viskose Strömungen mit finiten Differenzen und gegeneinander versetzten Geschwindigkeits- und Druckknoten wird am Beispiel einer viskosen Strömung in einer konischen Rohrleitung erklärt (Computerprogramm im Web).

Für die eindimensionalen instationären Strömungen, die mit den Saint-Venant-Gleichungen beschrieben werden können, wird zunächst eine numerische Lösung mit finiten Differenzen auf der Grundlage der Charakteristikentheorie vorgestellt. Im Weiteren werden dann auch eine explizite und eine implizite Finite-Differenzen-Methode diskutiert sowie eine Lösung der Saint-Venant-Gleichungen durch parametrische Gruppierung dargestellt, bei der geeignete Variable definiert werden, mit denen das Ausgangssystem in einfacher Form geschrieben und vorteilhaft mit dem Lax-Wendroff-Verfahren gelöst werden kann. Als Beispiel wird dafür die Bewegung der Oberflächenwellen in einem Kanalabschnitt herangezogen (Computerprogramm im Web).