Körper und Polynome

Zusammenfassung

Nicht in allen Zahlbereichen kann man alle Rechenoperationen unbeschränkt durchführen. So darf man in der Menge ℕ der natürlichen Zahlen zwar addieren und multiplizieren, aber weder unbeschränkt subtrahieren noch unbeschränkt dividieren: 3-5 ist keine natürliche Zahl und ebensowenig 2:3. In ℤ können wir addieren, subtrahieren und multiplizieren, aber nicht beliebig dividieren, wenn das Ergebnis wieder eine ganze Zahl sein soll. In den rationalen Zahlen ℚ können wir hingegen alle Rechenoperationen anwenden und bekommen als Ergebnis jeweils eine rationale Zahl. Mit diesem Phänomen, das wir auch von der Menge ℝ der reellen Zahlen und der Menge ℂ der komplexen Zahlen kennen, wollen wir uns in diesem Kapitel gezielt beschäftigen. Es ist im Grunde die wesentliche Eigenschaft, die ein mathematischer Körper erfüllen muss und solche Körper werden wir im folgenden Abschnitt betrachten. Dabei geht es nicht nur um das Rechnen in alt bekannten Zahlbereichen. Die in diesem Kapitel eingeführten endlichen Körper spielen in der Codierungstheorie und der theoretischen Informatik eine wichtige Rolle. Aber auch in anderen Zusammenhängen werden wir sehen, dass es sinnvoll ist, nicht nur ℚ, ℝ und ℂ zu studieren, sondern die wesentlichen Eigenschaften dieser Zahlbereiche zu verallgemeinern.