Integration

Zusammenfassung

Die Integralrechnung von Funktionen in einer Veränderlichen kennt man z.T. aus der Schule — hier hat man auch die anschauliche Bedeutung des Integrals ∫ _a ^b f(x), dx als Flächeninhalt gelernt. Zum Glück läuft Integration aber nicht über Flächenmessung ab: Wenn man etwa ∫₁ ² x ² dx berechnen will, muss man nicht das Intervall [1,2] in kleine Teilintervalle unterteilen und über diesen Teilintervallen winzige Rechtecke ausmessen. Es genügt, eine so genannte Stammfunktion von f(x)=x ², etwa F(x)=1/3 x ³, zu finden und diese Stammfunktion an den Integrationsgrenzen auszuwerten (F(2) − F(1)). Die Ableitung der Stammfunktion (hier F(x) = 1/3 x ³) ergibt wieder die ursprüngliche Funktion (hier f(x) = x ²). Die Integralrechnung ist also in gewisser Weise die Umkehrung der Differentialrechnung: Ableiten und Integrieren sind inverse Operationen. Dieser (im Moment noch) wenig exakten Formulierung liegt der so genannte Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung zugrunde.