Une Definition Globale des Operateurs Pseudo-Differentiels sur une Variete Differentiable

Abstract

Nous introduisons dans ce qui suit une définition globale des opérateurs pseudo-différentiels sur une variété différentiate et un calcul symbolique qui permet d'établir une correspondance linéaire bijective entre les opérateurs pseudo-différentiels modulo les opérateurs régularisants d'une part et une classe de symboles modulo les symboles qui sont à décroissance rapide sur les fibres de l'espace cotangent d'autre part.

L'idée de ce calcul est basée sur le fait que la formule

$$\left( {A\phi } \right)\left( x \right) = \int {f\left( {x,\xi } \right)d\,\xi \,\int {e^{ - 2i\pi \left( {y - x} \right).\xi } } \phi \left( y \right)dy}$$

qui définit un opérateur pseudo-differentiel sur ℝⁿ, si f a certaines propriétés de régularité et de croissance à l'infini, prend un sens sur une variété si l'on y remplace y-x par un vecteur tangent en x à la variété, soit v(x,y), “infinitésimalement égal” à y-x, et si l'on prend quelques précautions suppiémentaires destinées à faire converger l'intégrale et à lui assurer un sens intrinsfèque.