Théorie de la stabilité

Abstract

Nous allons considérer des équations différentielles (systèmes) de la forme $\dot x = {{dx} \over {dt}} = f(x,t).$ Dans la plupart des cas x représentera ici Un vecteur (colonne) dans un espace euclidien réel E_n à n dimensions avec la norme usuelle $\left\| x \right\| = \sqrt {\mathop x\nolimits_1^2 + ... + \mathop x\nolimits_n^2 }$ où x_i sont les composants de x; mais plusieurs théorèms sont valables dans des conditions plus générales, où x est un vecteur appartenant à un espace linéaire convenable, par exemple, à un espace de Banach. Nous désignons par S_n(a) (ou simplement S_n) une sphère (boule) ∥x∥<a, où a est un nombre positif t représente une variable scalaire (temps), -∞ <t <+∞; cependant dans la plupart des théorèms, il suffit de considérer les valeurs non-negatives de t. Nous représentons par J et J+, respectivement les intervalles -∞<t<+∞ et 0≤t<+∞. f est une fonction vectorielle del'espace E_n× J (ou E_n× J⁺) (ou bien de S_n× J ou de S_n× J⁺) dans l'espace E_n; l'équation ẋ = f(x,t) est donc une représentation abregée du système d'ordre n

$$\eqalign{ & \mathop {\dot x}\nolimits_1 = \mathop f\nolimits_1 (\mathop x\nolimits_1 ,\mathop x\nolimits_2 ,...,\mathop x\nolimits_n ,t) \cr & ........................................ \cr & \mathop {\dot x}\nolimits_n = \mathop f\nolimits_n (\mathop x\nolimits_1 ,\mathop x\nolimits_2 ,...,\mathop x\nolimits_n ,t). \cr} $$