Die Maxwell-Theorie als klassische Feldtheorie

Zusammenfassung

Das Hamilton’sche Extremalprinzip und die Lagrange’sche Mechanik, die darauf aufbaut, sind überaus erfolgreich in ihrer Anwendung auf mechanische Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden. Das Hamilton’sche Extremalprinzip charakterisiert die physikalisch realisierbaren unter allen denkbaren Bahnen als diejenigen, die kritische Elemente des Wirkungsintegrals sind. Die Lagrange-funktion, obwohl selbst keine Observable,dient nicht nur zur rationellen Herleitung der Bewegungsgleichungen, sondern ist auch ein wichtiges Hilfsmittel,um Symmetrien der Theorie festzustellen und die zugehörigen Erhaltungsgrößen über das Noether’sche Theorem zu konstruieren. Das Extremalprinzip und die Lagrange’sche Mechanik lassen sich auf Systeme mit über abzählbar unendlich vielen Freiheitsgraden verallgemeinern. An die Stelle der Lagrangefunktion tritt die Lagrangedichte, an die Stelle der(i.Allg. verallgemeinerten) Koordinaten treten zeit-und ortsabhängige Felder. Die Euler-Lagrange-Gleichungen sind Bewegungsgleichungen in diesen Feldern und so zeigt sich, dass die Maxwell’schen Gleichungen aus einem Variationsprinzip herleitbar sind. Das Theorem von Noether liefert auch hier den Zusammenhang zwischen der Invarianz der Lagrangedichte unter Transformationen in Raum und Zeit und den Erhaltungssätzen.