Makrodynamik der Netze mit konstanten Synapsen

Zusammenfassung

Für konstante Synapsen reicht es, die partielle Differentialgleichung

$$ \label{4.1} \frac{\partial J_{\varepsilon i}(M_{\varepsilon i}, i_{\varepsilon i}(t))}{\partial t} + h_{\varepsilon i} (M_{\varepsilon i}, W_{\varepsilon i}, i_{\varepsilon i}(t)) = 0 $$

((4.1))

mit der Signalenergie

$$ h_{\varepsilon i} (W_{\varepsilon i}, i_{\varepsilon i}(t)) = \frac{1}{2} \sum_{e \in E_{\varepsilon i}} \left\{ \sum_{s \in S_{\varepsilon i}\cap N_e} W^{2}_{es} \cdot x_{s} + W^{2}_{e0} \cdot i_{e}(t) \right\} $$

zu betrachten, denn dann lauten die charakteristischen Gleichungen (3.5b):

$$ \label{4.2} \frac{dM_{es}}{dt} = W_{es} \cdot x_{s} \text{ bzw. } \frac{dM_{e0}}{dt} = W_{e0} \cdot i_{e} \text{, }\quad \frac{dW_{es}}{dt} = 0 \text{ bzw. } \frac{dW_{e0}}{dt} = 0 \text{, }\quad \frac{d(\partial J_{\varepsilon i}/\partial t)}{dt} = - \sum_{e \in E_{\varepsilon i}} \frac{W^{2}_{e0}}{2} \cdot \frac{di_{e}}{dt} \text{, } $$

((4.2))

$$ \frac{dJ_{\varepsilon i}}{dt} = \frac{1}{2} \sum_{e \in E_{\varepsilon i}} \left\{ \sum_{s \in S_{\varepsilon i}\cap N_e} W^{2}_{es} \cdot x_{s} + W^{2}_{e0} \cdot i_{e}(t) \right\} = h_{\varepsilon i} (W_{\varepsilon i}, i_{\varepsilon i}(t)) $$

Wir haben es also mit einem System zu tun, dessen Makrodynamik nur noch von den Anfangswerten jeder Zerlegung und den äußeren Signalen abhängt, nicht aber mehr von den synaptischen Variablen.