Numerische Integration

Zusammenfassung

Motiviert durch den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung bietet sich folgende Vorgangsweise zur Berechnung von bestimmten Integralen an: Man sucht zunächst eine Stammfunktion F des Integranden f und bestimmt daraus den Wert des Integrals

$$ \int_a^b f(x)\text{d}x = F(b)-F(a) $$

.

In der Praxis ist es aber oft unmöglich, eine betreffende Stammfunktion F als Kombination einfacher Funktionen zu finden. Abgesehen davon können Stammfunktionen auch recht komplex sein, wie beispielsweise $\int x^{100} \sin x \text{d}x$. Schließlich ist in konkreten Anwendungen der Integrand oft nur numerisch und nicht durch eine explizite Formel gegeben. In all diesen Fällen greift man auf numerische Verfahren zurück. In diesem Kapitel werden die grundlegenden Konzepte der numerischen Integration (Quadraturformeln, Ordnung) eingeführt und erläutert. Anhand instruktiver Beispiele wird für die Gauß’schen Quadraturformeln die erreichbare Genauigkeit und der dafür nötige Aufwand analysiert.