Lebesgue–Integral

Zusammenfassung

In diesem Kapitel konstruieren wir ein Integral für messbare (numerische) Funktionen, die auf einem Maßraum (Ω, ℱ, μ) definiert sind. Dieses Integral wird als Lebesgue–Integral bezeichnet.

Ausgangspunkt für die Konstruktion des Integrals ist die Interpretation des Maßes μ[A] einer Menge A ∈ ℱ als Integral ihrer Indikatorfunktion χ _A ; wegen A ∈ ℱ ist χ _A messbar und wir setzen

$$ \int_{\Omega} \chi_{A} d \mu := \mu[A] $$

Die Grundidee ist nun, dieses Integral zunächst auf Linearkombinationen von messbaren Indikatorfunktionen und sodann auf deren Limites unter der punktweisen Konvergenz fortzusetzen. Die Ausführung dieser Grundidee wird allerdings dadurch erschwert, dass das Maß μ im allgemeinen nicht endlich ist; man betrachte etwa den Maßraum (ℝ, ℬ(ℝ), λ). Es zeigt sich jedoch, dass das Integral für messbare Indikatorfunktionen in natürlicher Weise zunächst zu einem Integral für alle positiven einfachen Funktionen (Abschnitt 8.1) und sodann zu einem Integral für alle positiven messbaren Funktionen (Abschnitt 8.2) fortgesetzt werden kann; da jede messbare Funktion als Differenz von zwei positiven messbaren Funktionen dargestellt werden kann, lässt sich das Integral schließlich auch für bestimmte messbare Funktionen definieren, die nicht positiv sein müssen (Abschnitt 8.3). Diese drei Schritte der Konstruktion des Integrals werden als algebraische Induktion bezeichnet; wir haben sie bereits im Beweis des Faktorisierungssatzes verwendet, und es wird sich zeigen, dass die algebraische Induktion auch eine grundlegende Technik zum Beweis von Aussagen über Integrale ist.

Abschließend betrachten wir Räume integrierbarer Funktionen (Abschnitt 8.4) und damit erste funktionalanalytische Aspekte der Integrationstheorie.