Topologische Räume und messbare Räume

Zusammenfassung

In diesem Kapitel betrachten wir Abbildungen zwischen Mengen, die beide mit einer Topologie oder beide mit einer σ–Algebra ausgestattet sind. In beiden Fällen sind die wichtigsten Abbildungen durch Eigenschaften ihres Urbildes definiert. Wir erinnern zunächst an die Eigenschaften des Urbildes einer Abbildung und definieren das Urbild eines Mengensystems (Abschnitt 2.1). Wir betrachten sodann topologische Räume und stetige Abbildungen zwischen topologischen Räumen (Abschnitt 2.2) sowie messbare Räume und messbare Abbildungen zwischen messbaren Räumen (Abschnitt 2.3). Die Beweise der allgemeinen Ergebnisse über topologische oder messbare Räume und über stetige oder messbare Abbildungen verlaufen analog und werden daher nur für topologische Räume und stetige Abbildungen ausgeführt. Für Abbildungen zwischen topologischen Räumen ergibt sich ein interessanter Zusammenhang zwischen der Stetigkeit bezüglich den gegebenen Topologien und der Messbarkeit bezüglich den zugehörigen Borelschen σ–Algebren.