Schwache Konvergenz und Zentraler Grenzwertsatz

Zusammenfassung

Gegenstand dieses Kapitels ist ein Konvergenzbegriff für Verteilungen, der als schwache Konvergenz bezeichnet wird. Diese Begriffsbildung lässt sich auf zweifache Weise erklären: Zum einen wird die schwache Konvergenz einer Folge von Verteilungen durch die Konvergenz einer Familie von Integralen und damit durch die Konvergenz einer Familie von Funktionalen definiert; zum anderen stellt sich heraus, dass die schwache Konvergenz der Verteilungen einer Folge von Zufallsvariablen in der Tat schwächer als die stochastische Konvergenz und damit schwächer als jeder der bisher behandelten Konvergenzbegriffe ist.

Für eine Folge von Zufallsvariablen wird die schwache Konvergenz ihrer Verteilungen auch als Verteilungskonvergenz oder als Konvergenz in Verteilung bezeichnet. Aussagen über die Konvergenz in Verteilung bilden die Grundlage für die näherungsweise Berechnung von Verteilungen, die entweder nicht vollst ändig bestimmt oder nur mit hohem Aufwand berechnet werden können, durch Verteilungen, deren Eigenschaften wohlbekannt sind.

Das bekannteste Ergebnis über die Konvergenz in Verteilung ist der Zentrale Grenzwertsatz, der besagt, dass bei hinreichend großem Stichprobenumfang das Stichprobenmittel einer unabhängig und identisch verteilten Folge von Zufallsvariablen näherungsweise normal–verteilt ist. Dieses Ergebnis ist von zentraler Bedeutung in der Statistik.

Wir untersuchen zunächst die schwache Konvergenz einer Folge univariater Verteilungen, ihre Charakterisierung durch eine geeignete Art der Konvergenz ihrer Verteilungsfunktionen und durch die Konvergenz ihrer charakteristischen Funktionen, sowie den Zusammenhang zwischen der stochastischen Konvergenz einer Folge von Zufallsvariablen und der schwachen Konvergenz ihrer Verteilungen (Abschnitt 17.1). Wir wenden uns dann dem Begriff der Straffheit einer Familie von Verteilungen zu (Abschnitt 17.2) und beweisen schließlich die einfachste Form des Zentralen Grenzwertsatzes (Abschnitt 17.3).