Die Funktionentheorie befasst sich mit den differenzierbaren Funktionen, die eine offene Teilmenge von ℂ nach ℂ abbilden. Wenngleich die Definition der Differenzierbarkeit für eine Funktion f: G → ℂ wörtlich dieselbe wie für reelle Funktionen auf einem Intervall ist, gibt es dramatische Unterschiede in der Theorie solcher Funktionen. Hier eine Auswahl:
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Ist f: G → ℂ differenzierbar, so ist f beliebig häufig differenzierbar.
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Ist f: G → ℂ differenzierbar und beschränkt, so ist f konstant.
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Sind f n : G → ℂ differenzierbar und konvergiert (f n ) auf jeder kompakten Teilmenge von G gleichmäßsig gegen eine Funktion f, so ist f differenzierbar.
Man mache sich klar, dass die Analoga dieser Aussagen im Reellen allesamt falsch sind!
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Literaturhinweise
Die meines Erachtens beste Einführung in die Funktionentheorie ist Kapitel 10 in
W. Rudin: Real and Complex Analysis. 3. Auflage, McGraw-Hill, 1986.
Zwei schlanke einführende Bücher sind
K. Jänich: Einführung in die Funktionentheorie. 4. Auflage, Springer, 1996.
G. Schmieder: Grundkurs Funktionentheorie. Teubner, 1993.
Außerdem enthalten viele mehrbändige Analysislehrbücher Abschnitte zur Funktionentheorie, so z.B.
H. Amann, J. Escher: Analysis II. Birkhäuser, 1999.
J. Dieudonn’e: Grundzüge der modernen Analysis. Band 1, 3. Auflage, Vieweg, 1985.
K. Endl, W. Luh: Analysis III. 6. Auflage, Aula-Verlag, 1987.
Hier noch eine Liste weiterer Lehrbücher zur Funktionentheorie:
J. Bak, D. J. Newman: Complex Analysis. 2. Auflage, Springer, 1997.
J. B. Conway: Functions of One Complex Variable. 2. Auflage, Springer, 1978.
W. Fischer, I. Lieb: Funktionentheorie. 6. Auflage, Vieweg, 1992.
E. Freitag, R. Busam: Funktionentheorie. 3. Auflage, Springer, 2000.
R. E. Greene, S. G. Krantz: Function Theory of One Complex Variable. Wiley, 1997.
S. Lang: Complex Analysis. 4. Auflage, Springer, 1999.
T. Needham: Visual Complex Analysis. Clarendon Press, 1997.
R. Remmert: Funktionentheorie I. 4. Auflage, Springer, 1994.
Zum Primzahlsatz und zur Zetafunktion siehe zum Beispiel
G. J. O. Jameson: The Prime Number Theorem. Cambridge University Press, 2003.
H. M. Edwards: Riemann’s Zeta Function. Academic Press, 1974.
Dieses Buch enthält auch eine detaillierte Darstellung von Riemanns Arbeit.
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Werner, D. (2009). Funktionentheorie. In: Einführung in die höhere Analysis. Springer-Lehrbuch. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-540-79696-1_2
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Publisher Name: Springer, Berlin, Heidelberg
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Online ISBN: 978-3-540-79696-1
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