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Euklidische und unitäre Vektorräume

Chapter
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Auszug

In den Vorbemerkungen zu Kapitel 1 hatten wir überlegt, auf welche Weise man den ℝ-Vektorraum ℝ2 als Modell einer anschaulichen Ebene interpretieren kann. Will man in diesem Modell auch Abstände und damit letztendlich Winkel korrekt reflektieren, so muss man das Modell mit einer Abstandsfunktion ausstatten. Beispielsweise ist im ℝ2 der gewöhnliche euklidische Abstand für zwei Punkte \( P_1 = \left( {x_1 ,y_1 } \right),P_2 = \left( {x_2 ,y_2 } \right) \) durch
$$ d\left( {P_1 ,P_2 } \right) = \sqrt {\left( {x_1 - x_2 } \right)^2 + \left( {y_1 - y_2 } \right)^2 } $$
gegeben, bzw. die Länge oder der Betrag des Vektors \( \overrightarrow {0P} _1 \) durch
$$ \left| {\overrightarrow {0P_1 } } \right|: = \left| {P_1 } \right|: = \sqrt {x_1^2 + y_1^2 .} $$
Hieraus gewinnt man mit
$$ \left\langle {P_1 ,P_2 } \right\rangle : = \frac{1} {2}\left( {\left| {P_1 + P_2 } \right|^2 - \left| {P_1 } \right|^2 - \left| {P_2 } \right|^2 } \right) = x_1 x_2 + y_1 y_2 $$
eine Funktion in zwei Variablen, eine so genannte symmetrische Bilinearform, in unserem Falle sogar ein Skalarprodukt, welches dann \( \left| {P_1 } \right| = \sqrt {\left\langle {P_1 ,P_1 } \right\rangle } \) erfüllt. Als Indiz, dass man mit einem solchen Skalarprodukt auch Winkel charakterisieren kann, mag folgende Beobachtung dienen: Das Skalarprodukt (P1, P2) verschwindet genau dann, wenn \( \left| {P_1 + P_2 } \right|^2 = \left| {P_1 } \right|^2 + \left| {P_2 } \right|^2 \) gilt. Für nicht-triviale Punkte P1, P2 ist dies aufgrund der Umkehrung des Satzes von Pythagoras äquivalent dazu, dass die Vektoren \( \overrightarrow {0P_1 } \) und \( \overrightarrow {0P_2 } \) aufeinander senkrecht stehen:

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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2008

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