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Polynome

Chapter
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Part of the Springer-Lehrbuch book series (SLB)

Auszug

Für einen K-Vektorraum V der Dimension n < ∞ bilden die Endomorphismen τ: V → V einen Ring EndK(V), der gemäß 3.3/2 als K-Vektorraum von der Dimension n2 ist. Betrachtet man daher zu einem Endomorphismus τ von V dessen Potenzen \( \tau ^{n^2 } , \ldots ,\tau ^0 \) = id, so sind diese linear abhängig. Folglich existiert in EndK(V) eine Gleichung der Form
$$ \tau ^r + c_1 \tau ^{r - 1} + \ldots + c_r = 0 $$
mit Konstanten ciK und einer natürlichen Zahl r ≤ n2, wobei man stets rn wählen kann, wie genauere Überlegungen später zeigen werden. Es handelt sich also um eine Gleichung r-ten Grades mit Koeffizienten aus K, eine so genannte algebraische Gleichung von τ über K. Diese kann genau dann linear gewählt werden (d. h. mit r = 1), wenn τ ein skalares Vielfaches der Identität ist, so dass im Allgemeinen r > 1 gelten wird. Nun ist die Theorie algebraischer Gleichungen allerdings nicht mehr der Linearen Algebra zuzurechnen, sie gehört thematisch eher zu dem Bereich, den man heute meist als „Algebra“ bezeichnet.

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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2008

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