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Lineare Abbildungen

Chapter
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Auszug

In Kapitel 1 haben wir Vektorräume über einem Körper K als Mengen eingeführt, die mit einer gewissen Struktur ausgestattet sind, nämlich einer Addition und einer skalaren Multiplikation mit Elementen aus K, wobei die Gültigkeit gewisser Axiome (Rechenregeln) gefordert wird. Unberührt blieb dabei zunächst die Frage, wann zwei K-Vektorräume V und V′ als „gleich“ oder „im Wesentlichen gleich“ anzusehen sind. Es gibt eine natürliche Methode, um dies festzustellen: Man versuche, die Elemente von V mittels einer bijektiven Abbildung f: V → V′ mit denjenigen von V′ zu identifizieren, und zwar in der Weise, dass dabei die Addition und die skalare Multiplikation von V und V′ in Übereinstimmung gebracht werden. Für die Abbildung f erfordert dies die Gleichungen
$$ f\left( {a + b} \right) = f\left( a \right) + f\left( b \right),f\left( {\alpha a} \right) = \alpha f\left( a \right), $$
für alle a, bV und alle α ∈ K. Lässt sich eine solche bijektive Abbildung f finden, so kann man die Vektorräume V und V′ als „im Wesentlichen gleich“ ansehen, und man nennt f in diesem Falle einen Isomorphismus zwischen V und V′. Allgemeiner betrachtet man auch nicht notwendig bijektive Abbildungen f: V → V′ mit den oben genannten Verträglichkeitseigenschaften und bezeichnet diese als Homomorphismen oder lineare Abbildungen von V nach V′. Die Untersuchung von Abbildungen dieses Typs ist das zentrale Thema des vorliegenden Kapitels.

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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2008

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