Classes particulières d'ensembles ordonnés

Ce livre contient des résultats, comme les théorèmes de Dilworth (au chapitre 4) ou d’Hiraguchi (au chapitre 6), valables pour tout ensemble ordonné. Toutefois ce type de résultat est assez rare. La notion d’ordre, bien que fort restrictive relativement à celle de relation quelconque, reste en effet très générale comme en témoigne l’immensité du nombre d’ordres différents que l’on peut obtenir sur un ensemble de cardinal peu élevé (plus de deux millions de types d’ordres sur un ensemble à 10 éléments ! Voir l’annexe C). Mais, en pratique, les ordres apparaissant dans la « nature » appartiennent le plus souvent à une classe particulière d’ordres. Ces classes peuvent être définies de très nombreuses manières. Elles s’obtiennent, par exemple, en fixant la valeur d’un paramètre (comme les ordres de dimension 2 étudiés à la section 6.3), en interdisant la présence de certaines configurations (comme les ordres d’intervalles de l’exemple 1.22 et de la section 2.2), en construisant la classe par itération de certaines opérations sur une famille d’ordres initiaux (les ordres séries-parallèles définis à la section 2.2). Nous donnons ci-dessous quelques-unes des classes d’ordres les plus courantes et que l’on retrouvera constamment dans cet ouvrage. Bien que nous ne les définissions ici que d’une seule manière, on verra dans les exercices ou ultérieurement que ces classes ont souvent plusieurs définitions alternatives, ce qui explique qu’elles aient pu apparaître indépendamment dans des contextes variés et renforce leur intérêt.