Stetige Verteilungen

Auszug

Eine stetige Zufallsvariable X (z. B. Körpergewicht oder Körpergröße) kann theoretisch alle Zahlenwerte innerhalb eines bestimmten Intervalls annehmen. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung wird durch die Dichtefunktion (oder Dichte) beschrieben. Diese Funktion ordnet jedem Wert x_i der Zufallsvariablen einen Funktionswert f(x_i) > 0 zu. Die Gesamtfläche unter der Kurve f(x) ist gleich 1:

$$ \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {f(x)dx = 1} $$

(8.1)

Diese Gleichung drückt aus, dass die Zufallsvariable X mit Sicherheit (also der Wahrscheinlichkeit 1) einen Wert zwischen −∞ und +∞ annimmt. Sie ist vergleichbar mit (7.2); das ∑-Zeichen ist ersetzt durch das Integral. Die Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsvariablen ist das Integral über der Dichte:

$$ F(x) = P(X \leqslant x) = \int\limits_{ - \infty }^x {f(t)dt} $$

(8.2)

Daraus folgt für das komplementäre Ereignis X > x:

$$ P(X > x) = \int\limits_x^{ + \infty } {f(t)dt = 1 - F(x)} $$

(8.3)

⦶ Die Dichte wird in den Gleichungen (8.2) und (8.3) mit f (t) bezeichnet, weil x eine Grenze des Integrals darstellt, während sich die Variable t zwischen den Grenzen −∞ und x bzw. zwischen x und +∞ bewegt.