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Rekursionen und Wachstum von Algorithmen

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Auszug

Viele Abzählprobleme können nicht direkt mithilfe der Methoden gelöst werden, die wir im Kapitel 7 kennen gelernt haben. Ein Beispiel für ein solches Problem ist: Wie viele Möglichkeiten gibt es, Bitfolgen der Länge n zu bilden, die keine aufeinander folgenden 1 enthalten? Wenn wir zum Beispiel n = 3 setzen, dann können wir die erlaubten Bitfolgen leicht anschreiben: 000, 100, 010, 001, 101; es gibt also fünf derartige Folgen. Wie viele gibt es aber zum Beispiel für n = 8 oder n = 12? Es wäre praktisch, eine Formel für allgemeines n zu haben. Wenn wir mit an die Anzahl der erlaubten Bitfolgen der Länge n bezeichnen, dann werden wir in diesem Kapitel sehen, dass an+1 = an + an−1 ist. Wir können also die gesuchte Anzahl mithilfe einer Rekursion ausdrücken. Mithilfe der Anfangsbedingungen a1 = 2 und a2 = 3 können wir a3 = a2 + a1 = 5 berechnen, und weiter a4 = a3 + a2 = 8 usw. Es ist sogar möglich, ein nicht-rekursives Bildungsgesetz an = f(n) zu finden. Wir erhalten es durch Lösung der Rekursion.

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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2007

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