Fourier-Transformation

2.11 Zusammenfassung

In diesem Kapitel wurde die Fourier-Transformation als Hilfsmethode zur Berechnung von Faltungsprodukten eingeführt. Bildet man durch Fourier-Transformation der Impulsanwort die übertragungsfunktion eines Systems und aus einem Signal sein Spektrum, so ergibt das Produkt dieser beiden Frequenzfunktionen das Spektrum des Ausgangssignals. Das Ausgangssignal selbst kann dann durch inverse Fourier-Transformation wieder zurückgewonnen werden.

Die mathematischen Vorteile dieses Verfahrens haben dazu geführt, dass die Behandlung von Systemaufgaben im Frequenzbereich ein Eigenleben entwickelt hat. Häufig beschreibt man Signale und Systeme nur durch ihre Fourier-Transformierten und fragt erst an zweiter Stelle nach ihrer Form im Zeitbereich.

Der praktische Umgang mit der Methode der Fourier-Transformationwird sehr erleichtert durch die Kenntnis der Spektren einiger elementarer Funktionen und die Kenntnis einiger Theoreme über elementare Operationen mit Signalen und ihren Spektren. Die Theoreme und einige Transformationspaare sind daher am Schluß dieses Kapitels in zwei Tabellen zusammengefasst dargestellt. Starker Wert wurde auch der Bedeutung verallgemeinerter Funktionen im Zeit- und Frequenzbereich beigelegt, durch deren Einführung viele Schwierigkeiten der klassischen Theorie der Fourier-Transformation entfallen.

In allen folgenden Kapiteln wird das Werkzeug „Fourier-Transformation“ ausgiebig angewandt. Besonders deutlich werden die Vorteile dieser Methode bei der folgenden Behandlung der Abtasttheoreme.