Vektoren und ihre Anwendungen

Auszug

Im dreidimensionalen Raum (R³) lassen sich viele geometrische Probleme wie. z. B. der Abstand eines Punktes zu einer Geraden mit Hilfe der Vektoren lösen. Die axiomatische Einführung der Vektoren schien den Autoren für ihr Klientel nicht geeignet. So werden die Vektoren als Klassen parallelgleicher Pfeile eingeführt mit der heute üblichen Schreibweise $\vec a$. Die Menge aller Vektoren wird mit V bezeichnet. In V werden Vektoroperationen definiert wie Addition, Subtraktion sowie Produkte. Im zweiten Abschnitt werden die Vektoren mit Hilfe eines kartesischen Koordinaten-systems dargestellt. Dazu benötigt man die lineare Abhängigkeit von Vektoren, die ausführlich erklärt wird. Die Komponentenschreibweise der Vektoren führt dann auf die Schreibweise $\vec a = (a_x ,a_y ,a_z )^T$. Die oben angeführten Vektoroperationen werden auf diese Darstellung übertragen. Es wird die Gerade in verschiedenen Formen, sodann die Ebene vorgestellt und Aufgaben dazu gelöst. Der dritte Abschnitt beschäftigt sich mit Transformationen, die vorteilhaft mit Matrizen beschrieben werden können und u.a. in der Computergrafik (z. B. bei Animationen) eine praktische Anwendung finden. Dabei wird streng zwischen geometrischen Transformationen (Bewegung eines Objekts in einem festen Koordinatensystem) und Koordinatentransformationen (Bewegung eines Koordinatensystems relativ zu einem festen Objekt) unterschieden. Um neben Skalierungen und Rotationen auch Translationen mit Matrizenmultiplikationen beschreiben zu können, wird auch auf so genannte homogene Koordinaten eingegangen. Viele Probleme aus Technik und Wissenschaft führen auf das Eigenwertproblem von Matrizen, d.h. auf die Bestimmung ihrer Eigenwerte und den zugehörigen Eigenvektoren. Der folgende Abschnitt führt diese Begriffe sowie den Begriff der Ähnlichkeits-transformation und der orthogonalen Transformation ein und untermauert sie an zahlreichen Beispielen. Als spezielle Anwendung wird die Hauptachsentransformation quadratischer Formen diskutiert. Der letzte Abschnitt zeigt Probleme bei der numerischen Behandlung linearer Gleichungssysteme auf, nämlich mögliche schlechte Konditioniertheit und den Einfluss von Abbruchfehler und ihre Fortpflanzung bei der Rechnung. Das Kapitel schließt mit der numerischen Lösung von linearen Gleichungssystemen mit Hilfe des QR-Algorithmus.