Die Gammafunktion

Auszug

1. Das Problem, die Funktion n!, n ∈ ℕ, auf reelle Argumente auszudehnen und eine möglichst einfache „Fakultätenfunktion“ zu finden, die an der Stelle n ∈ ℕ den Wert n! hat, führte Euler 1729 zur Г-Funktion. Er gibt das unendliche Produkt

$$ \Gamma (z + 1): = \frac{{1 \cdot 2^z }} {{1 + z}} \cdot \frac{{2^{1 - z} 3^z }} {{2 + z}} \cdot \frac{{3^{1 - z} 4^z }} {{3 + z}} \cdot \ldots = \prod\limits_{\nu = 1}^\infty {\left( {1 + \frac{1} {\nu }} \right)^z \left( {1 + \frac{z} {\nu }} \right)^{ - 1} } $$

als Lösung an¹. Euler betrachtet nur reelle Argumente; Gauss lässt 1811 auch komplexe Zahlen zu. Am 21. November 1811 schreibt er an Bessel, der sich ebenfalls mit dem Problem der allgemeinen Fakultäten beschäftigte: „Will man sich aber nicht ... zahllosen Paralogismen und Paradoxen und Widersprüchen blossstellen, so muss 1 · 2 · 3 ... x = nicht als Definition von Πx gebraucht werden, da eine solche nur, wenn x eine ganze Zahl ist, einen bestimmten Sinn hat, sondern man muss von einer höheren allgemein, selbst auf imaginäre Werthe von x anwendbaren, Definition ausgehen, wovon ... jene als specieller Fall erscheint. Ich habe folgende gewählt

$$ \prod {x = \frac{{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot k \cdot k^x }} {{x + 1 \cdot x + 2 \cdot x + 3 \cdot \ldots \cdot x + k}},} $$

wenn k unendlich wird“, vgl. [83, S. 362–63]. Wir werden in 2.2 verstehen, warum Gauss gar keine andere Wahl blieb.

Genaue Euler-Zitate findet man in den entsprechenden Abschnitten dieses Kapitels; wir stützen uns weitgehend auf den Artikel Übersicht über die Bände 17, 18, 19 der ersten Serie von A. Krazer und G. Faber in [62, I–19, insb. XLVII–LXV]