Schwache Lösungen

Daß das Newtonpotential bei beschränkter Grundmenge und integrierbarer Dichte eine schwache Lösung der Poissongleichung ist, wird in Satz 10.2.5 gezeigt. Das schwach formulierte Dirichletproblem für diese Gleichung wird unter der notwendigen und hinreichenden Voraussetzung (A) auf S. 310 mit Hilfe des Darstellungssatzes von Fréchet-Riesz gelöst (Satz 10.2.13). Die Regularität schwacher Lösungen von (−Δ + a)u = f nach Maßgabe der Regularität der Koeffizienten a und f wird in Satz 10.3.10 und seinem Korollar behandelt. Der Prototyp solcher Sätze, der Fall a = f = 0 (Satz 10.3.2), wird für einen Beweis der Symmetrie der Greenschen Funktion des Laplaceoperators herangezogen (Satz 10.3.4). Im Falle a=0 wird auch das Problem der Randregularität schwacher Lösungen behandelt, und zwar wird Satz 3.7.1 von Giesecke benützt, um zu zeigen, daß jede klassische Lösung des Dirichletproblems auch das schwach formulierte Dirichletproblem löst (Satz 10.2.12).