Certains calculs numériques relatifs à l’interpolation p-adique des séries de Dirichlet

Abstrait

Soient K un corps de nombres, totalement réel et abélien, et p un nombre premier. Kubota et Leopoldt [12] ont construit une fonction analytique p-adique qui interpole les nombres $\zeta _K^{(p)} (1 - k)$ pour k ≡ 0 mod. p − 1, k ⩾ 1; on a noté $\zeta _K^{(p)}$ la fonction zêta du corps K débarrassée de son facteur local en p. On renvoie le lecteur à l’excellent petit livre d’Iwasawa [9] pour l’exposé de cette théorie. Lorsque le corps K n’est plus abélien, on savait par Siegel que les nombres ζ_K(1 − k) sont rationnels pour k ⩾ 1 entier; Klingen [10] a étendu ce résultat aux fonctions zêta associées aux classes d’idéaux, en interprétant les nombres ζ_K(1 − k) comme termes constants de certains formes modulaires. Sa méthode a été approfondie par Serre, et l’on trouvera ses résultats dans ce même volume.