Skip to main content

Formes modulaires et fonctions zêta p-adiques

  • Conference paper

Part of the Lecture Notes in Mathematics book series (LNM,volume 350)

Abstrait

Soient K un corps de nombres algébriques totalement réel, et ζK sa fonction zêta. D’après un théorème de Siegel [24], ζK(1 − k) est un nombre rationnel si k est entier ⩾ 1; il est ≠ 0 si k est pair. Lorsque K est abélien sur Q, on peut écrire ce nombre comme produit de «nombres de Bernoulli généralisés»:

$$ \zeta _K (1 - k) = \mathop \prod \limits_X L(X,1 - k) = \mathop \prod \limits_X ({{ - b_k (X)} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - b_k (X)} k}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} k}), cf. [18], $$

, où χ parcourt l’ensemble des caractères de Q attachés à K. Cela permet de démontrer des propriétés de congruence reliant les ζK(1−k) pour diverses valeurs de k, et d’en déduire par interpolation une fonction zêta p-adique pour le corps k, au sens de Kubota-Leopoldt (cf. [7], [10], [11], [16]).

This is a preview of subscription content, access via your institution.

Buying options

Chapter
USD   29.95
Price excludes VAT (Canada)
  • Available as PDF
  • Read on any device
  • Instant download
  • Own it forever
eBook
USD   44.99
Price excludes VAT (Canada)
  • Available as PDF
  • Read on any device
  • Instant download
  • Own it forever
Softcover Book
USD   59.99
Price excludes VAT (Canada)
  • Compact, lightweight edition
  • Dispatched in 3 to 5 business days
  • Free shipping worldwide - see info

Tax calculation will be finalised at checkout

Purchases are for personal use only

Learn about institutional subscriptions

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

Bibliographie

  1. Y. AMICE — Interpolation p-adique, Bull.Soc.math.France, 92, 1964, p.117–160.

    MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  2. A.O.L. ATKIN — Congruences for modular forms, Computers in math. research (R.F. Churchhouse et J-C. Herz ed.), p.8–19, North-Holland, Amsterdam, 1968.

    Google Scholar 

  3. A.O.L. ATKIN et J. LEHNER — Hecke operators on Γo(m), Math.Ann., 185, 1970, p.134–160.

    CrossRef  MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  4. J. COATES et S. LICHTENBAUM — On ℓ-adic zeta functions, Ann. of Math., 98, 1973, p. 498–550

    CrossRef  MathSciNet  Google Scholar 

  5. R.M. DAMERELL — L-functions of elliptic curves with complex multiplication I, Acta Arith., 17, 1970, p.287–301.

    MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  6. B. DWORK — p-adic cycles, Publ.Math.I.H.E.S., 37, 1969, p.27–115.

    MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  7. J. FRESNEL — Nombres de Bernoulli et fonctions L p-adiques, Ann. Inst.Fourier, 17, 1967, p.281–333.

    MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  8. E. HECKE — Mathematische Werke, Vandenhoeck und Ruprecht, Göttingen, 1959 (zw.Aufl. 1970).

    Google Scholar 

  9. A. HURWITZ — Über die Entwicklungskoeffizienten der lemniskatis-chen Funktionen, Math.Ann., 51, 1899, p.196–226 (Math.Werke, II, p.342–373).

    CrossRef  MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  10. K. IWASAWA — On p-adic L functions, Ann.of Math., 89, 1969, p.198–205.

    CrossRef  MathSciNet  Google Scholar 

  11. K. IWASAWA — Lectures on p-adic L functions, Ann.Math.Studies 74, Princeton Univ.Press, 1972.

    Google Scholar 

  12. N. KATZ — P-adic properties of modular schemes and modular forms, ce volume.

    Google Scholar 

  13. H. KLINGEN — Über die Werte der Dedekindschen Zetafunktion, Math. Ann., 145, 1962, p.265–272.

    CrossRef  MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  14. H.D. KLOOSTERMAN — Theorie der Eisensteinschen Reihen von mehreren Veränderlichen, Abh.Math.Sem. Hamb., 6, 1928, p.163–188.

    CrossRef  MATH  Google Scholar 

  15. M. KOIKE — Congruences between modular forms and functions and applications to a conjecture of Atkin, J. Fac. Science Univ. Tokyo, 20, 1973, p. 129–169

    MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  16. T. KUBOTA et H.W. LEOPOLDT — Eine p-adische Theorie der Zetawerte, J.Crelle, 214–215, 1964, p.328–339.

    MathSciNet  Google Scholar 

  17. H. LANG — Kummersche Kongruenzen für die normierten Entwicklungskoeffizienten der Weierstrass’schen ϕ-Funktion, Abh.Math. Sem.Hamburg., 33, 1969, p.183–196.

    CrossRef  MATH  Google Scholar 

  18. H.W. LEOPOLDT — Eine Verallgemeinerung der Bernoullischen Zahlen, Abh.Math.Sem.Hamburg., 22, 1958, p.131–140.

    CrossRef  MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  19. J-P. SERRE — Cohomologie des groupes discrets, Ann.Math.Studies 70, p.77–169, Princeton Univ.Press, 1971.

    MathSciNet  Google Scholar 

  20. J-P. SERRE — Congruences et formes modulaires (d’après H.P.F. Swinnerton-Dyer), Sém.Bourbaki, 1971/72, exposé 416.

    Google Scholar 

  21. J-P. SERRE — Résumé des cours 1971/72, Annuaire du Collège de France, 1972/73, Paris, p.55–60.

    Google Scholar 

  22. G. SHIMURA — Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions, Princeton, 1971.

    Google Scholar 

  23. K. SHIRATANI — Kummer’s congruence for generalized Bernoulli numbers and its application, Mem.Kyushu Univ., 26, 1972, p.119–138.

    CrossRef  MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  24. C.L. SIEGEL — Über die analytische Theorie der quadratischen Formen III, Ann.of Math., 38, 1937, p.212–291 (Gesam.Abh. I, p.469–548).

    CrossRef  MathSciNet  Google Scholar 

  25. C.L. SIEGEL — Berechnung von Zetafunktionen an ganzzahligen Stellen, Gött.Nach., 10, 1969, p.87–102.

    Google Scholar 

  26. C.L. SIEGEL — Über die Fourierschen Koeffizienten von Modulformen, Gött.Nach., 3, 1970, p.15–56.

    Google Scholar 

  27. H.P.F. SWINNERTON-DYER — On ℓ-adic representations and congruences for coefficients of modular forms, ce volume.

    Google Scholar 

  28. A. WEIL — On a certain type of characters of the idèle-class group of an algebraic number field, Proc.Int.Symp. Tokyo-Nikko, 1955, p.1–7.

    Google Scholar 

Download references

Author information

Authors and Affiliations

Authors

Editor information

Editors and Affiliations

Rights and permissions

Reprints and Permissions

Copyright information

© 1973 Springer-Verlag Berlin Heidelberg

About this paper

Cite this paper

Serre, JP. (1973). Formes modulaires et fonctions zêta p-adiques. In: Kuijk, W., Serre, JP. (eds) Modular Functions of One Variable III. Lecture Notes in Mathematics, vol 350. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-540-37802-0_4

Download citation

  • DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-540-37802-0_4

  • Publisher Name: Springer, Berlin, Heidelberg

  • Print ISBN: 978-3-540-06483-1

  • Online ISBN: 978-3-540-37802-0

  • eBook Packages: Springer Book Archive