Integrationstechniken

Zusammenfassung

Es ist prinzipiell nicht möglich, eine explizite Formel für eine Stammfunktion einer beliebigen Funktion anzugeben, auch wenn diese sich als Linearkombinationen bekannter einfacher Funktionen wie Polynome, rationale Funktionen, Wurzelfunktionen, Exponentialfunktionen und trigonometrische Funktionen zusammen mit deren Inversen zusammensetzt. Es stimmt noch nicht einmal, dass die Stammfunktion einer Elementarfunktion wieder eine andere Elementarfunktion ist. Ein bekanntes Beispiel liefert die Funktion f(x) = exp(−x²), deren Stammfunktion F(x) (mit F(x) = 0), die ja nach dem Fundamentalsatz existiert, (durch einen kniffligen Widerspruchsbeweis) keine Elementarfunktion sein kann. Um Werte von $F(x)=\int_0^x\exp(-y^2)\, dy$ für verschiedene x-Werte zu berechnen, müssen wir auf numerische Quadratur zurückgreifen, wie schon im Fall der Logarithmus-Funktion. Natürlich können wir F(x) einen Namen geben, beispielsweise können wir uns darauf einigen, sie Fehlerfunktion F(x) = er f(x) zu nennen und sie zu unserer Liste bekannter Funktionen, die wir benutzen können, hinzufügen. Nichtsdestotrotz wird es weitere Funktionen (wie $\frac{\sin(x)}{x}$) geben, deren Stammfunktionen nicht mit den bekannten Funktionen ausgedrückt werden können.