Lagrange und das Prinzip der kleinsten Wirkung*

Zusammenfassung

Lagrange (1736–1813), vgl. Abb. 47.1, fand eine Möglichkeit für die Beschreibung bestimmter dynamischer Probleme der Mechanik mit Hilfe des Prinzips der kleinsten Wirkung. Dieses Prinzip besagt, dass sich der Zustand u(t) eines Systems mit der Zeit t in einem bestimmten Zeitintervall [t₁, t₂] so verändert, dass das Wirkungsintegral

$$ I(u)=\int_{t_1}^{t_2}(T(\dot u (t))-V(u(t))) $$

((47.1))

(47.1)

stationär, d.h. unverändert, bleibt. Dabei ist $T(\dot u(t)) \text{ mit }\dot u=\frac{du}{dt}$ die kinetische Energie und V(u(t)) die potentielle Energie des Zustands u(t). Wir gehen dabei davon aus, dass der Zustand u(t) eine Funktion u : [t₁, t₂] → ℝ ist, für die u(t₁) = u₁ und u(t₂) = u₂ für einen Anfangswert u₁ und einen Endwert u₂ gilt. Dabei kann etwa u(t) die Position einer sich bewegenden Masse zur Zeit t sein. Das Wirkungsintegral eines Zustands ist somit das Integral über die Zeit für die Differenz zwischen der kinetischen und der potentiellen Energie.