Zusammenfassung
Wie schon der in zwei Hauptgruppen eingeteilte Literaturüberblick in Kapitel 2 deutlich gemacht hat, stehen Intensitätsmodelle und Unternehmenswertmodelle zur Bewertung von bonitätssensitiven Finanztiteln und insbesondere Kreditderivaten im Allgemeinen isoliert nebeneinander. Es werden zwar in beiden Ansätzen immer mehr Modellannahmen aufgehoben und immer komplexere Produkte bewertet, doch Arbeiten, die die Modelleigenschaften und die Bewertungsergebnisse beider Ansätze miteinander vergleichen, existieren kaum.1
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Referenzen
Bestenfalls existieren noch Arbeiten, die die Bewertungsergebnisse von Modellen, die zur gleichen Modellklasse gehören, miteinander vergleichen (vgl. z.B. Wei und Guo (1997) zum empirischen Vergleich des Merton (1974)-Modells mit dem von Longstaff und Schwartz (1995a), Monkkonen (1997) zum Vergleich des Intensitätsmodells von Jarrow und Turnbull (1995) mit verschiedenen Versionen von Intensitätsmodellen mit stochastischer Ausfallwahrscheinlichkeit und/oder stochastischer Befriedigungsquote oder Anderson und Sundaresan (2000) zum Vergleich des Merton (1974)-Modells mit verschiedenen Varianten von Unternehmenswertmodellen mit modellendogen bestimmter optimaler Ausfallschranke). Eine Ausnahme bildet Lehrbaß (1997): Dieser implementiert sowohl das Longstaf und Schwartz (1995a)-Modell als auch ein Intensitätsmodell mit einer speziellen stochastischen Intensitätsrate auf der Grundlage von Eurobonds, die von dem 1996 in Konkurs gegangenen niederländischen Flugzeughersteller Fokker emittiert wurden, und vergleicht die Erklärungsgüte beider Ansätze für die Marktpreise der Eurobonds anhand des linearen einfachen Bestimmtheitsmaßes R2.
Longstaff und Schwartz (1995a) nehmen dagegen an, dass der risikolose Momentanzinssatz ebenfalls einem stochastischen Prozess folgt, und zwar dem bereits im Vasicek (1977)-Modell verwendeten OrnsteinUhlenbeck-Prozess (math) Zusätzlich gehen sie davon aus, dass der Unternehmenswert und der risikolose Zinssatz miteinander korrelieren (dWdZ = pdt). Briys und de Varenne (1997) betrachten den risikolosen Zinssatz ebenfalls als stochastischen Prozess, modellieren diesen jedoch durch den von Hull und White (1990) vorgeschlagenen „extended Vasicek“;-Zinsprozess, bei dem die Parameter ς, β, σ deterministische Funktionen der Zeit sind. Hierdurch wird eine bessere Anpassung des Modells an die real im Ausgangszeitpunkt zu beobachtende Zins- und Volatilitätsstruktur ermöglicht. Auch Briys und de Varenne (1997) gehen von einer konstanten Korrelation zwischen Unternehmenswert und risikolosem Zinssatz aus.
Wie bei dieser Art von Unternehmenswertmodellen üblich und auch mit der Annahme eines vollkommenen Kapitalmarktes konsistent wird angenommen, dass das Modigliani-Miller-Theorem gültig ist, der Unternehmenswert also unabhängig von der Kapitalstruktur ist (vgl. beispielsweise Merton (1974, S. 450), Longstaff und Schwartz (1995a, S. 792) oder Brivs und de Varenne (1997, S. 241)).
Vgl.Schönbucher (2000b, S. 17). Wird dagegen angenommen, dass der Unternehmenswert nicht gehandelt wird oder nicht aus gehandelten Titeln rekonstruiert werden kann und damit ein unvollständiger Markt vorliegt, so wäre die Drift des Unternehmenswertprozesses unter dem (nicht mehr eindeutigen) äquivalenten Martingalmaß gleich µλσ(vgl. Reneby (1998, S. 17f.)). Hierbei bezeichnet µ die Drift des Unternehmenswertes unter dem realen Wahrscheinlichkeitsmaß und λ den so genannten Marktpreis für Unternehmenswertrisiko.
Vgl. Sandmann (2001, S. 265f.).
Vgl. Reneby (1998, S. 14ff.) für eine ökonomische Interpretation einer solchen Insolvenzschranke. Bei Merton (1974) wird die Möglichkeit eines vorflälligen Ausfalls nicht modelliert; dort kann ein Ausfall nur im Fälligkeitszeitpunkt der Nullkuponanleihe auftreten und zwar genau dann, wenn der Unternehmenswert kleiner als der Fremdkapitalrückzahlungsbetrag D ist.
Vgl. Black und Cox (1976, S. 356) mit (math) . Im Anhang 3.1 wird die nachfolgende Formel (3–7) für t = 0 hergeleitet; Formel (3–4) ergibt sich hieraus, wenn K = K(s) gesetzt wird.
Vgl. Black und Cox (1976, S. 356) sowie Anhang 3.1.
Zu beachten ist, dass das Integral über die Dichtefunktion f“ (V, t; K, s) im Intervall [K(s), ∞) im Allgemeinen nicht gleich eins ist, da es möglich ist, dass das Unternehmen die Insolvenzschranke bereits im Intervall (t,$) berührt hat. Nur wenn diese beiden Möglichkeiten berücksichtigt werden, summieren sich die Wahrscheinlichkeiten zu eins. Mason und Bhattacharya (1981, S. 285) bezeichnen derartige Dichtefunktio- nen, die im Zusammenhang mit Erstpassierwahrscheinlichkeiten auftreten und deren Integral nicht gleich eins ist, als „defective distribution“.
Durch die Annahme, dass der Anleihegläubiger im Insolvenzfall lediglich einen Anteil von δdes Unternehmenswertes V(T NKA ) erhält, wird eine Verletzung der strikten Rangfolge in der Bedienung von Eigen- und Fremdkapital modelliert. In diesem Fall erhalten die Aktionäre selbst bei einer Insolvenz des Unternehmens noch einen Betrag von (1-V(7°) (vgl. die in Longstaf und Schwartz (1995a, S. 793) zitierten Quellen Franks und Torous (1989), Eberhart, Moore und Roenfeldt (1990) und Weiss (1990) für empirische Belege einer Verletzung der Rangfolge im Insolvenzfall).
Die Aktionäre erhalten dementsprechend in einen Betrag von (1-δ) V(z). Briys und de Varenne (1997) weisen darauf hin, dass der Anteil (1-δ) des Unternehmenswertes, den der Anleihegläubiger infolge einer Verletzung der strikten Rangfolge nicht erhält, obwohl er einen Anspruch darauf hätte, im ersten und zweiten Fall unterschiedlich sein kann. Der Anleihegläubiger hat natürlich nur dann einen Anspruch auf den vollständigen Unternehmenswert V(r), wenn K(t) als Überschuldungsgrenze interpretiert wird.
Vgl. Briys und de Varenne (1997, S. 243). Durch die hier erfolgte Spezifizierung der Schwelle K(t) und der Zahlungen (3–9) und (3–10) werden Schwächen anderer Unternehmenswertmodelle, nämlich dass die Anleihegläubiger bei Erreichen der Schwelle mehr erhalten als das Unternehmen noch wert ist oder dass nicht berücksichtigt wird, dass trotz eines Nicht-Erreichens der Insolvenzgrenze K(t) der Unternehmenswert bei Fälligkeit nicht ausreichen kann, um den Nominalbetrag vollständig zurückzuzahlen, vermieden (vgl. Briys und de Varenne (1997, S. 240ff.) für eine ausführlichere Diskussion).
Zur Duplizierung und Bewertung von Krediten und Kreditbestandteilen, wie z.B. Schuldner- oder Gläubigerkündigungsrechten oder Kreditsicherheiten, mit Hilfe von Optionen im Rahmen eines Unternehmenswertansatzes vgl. auch Vievers (2001).
Leichter wäre die Duplizierung, wenn anstelle des von Ericsson und Reneby (1998) verwendeten down-andout Calls ein down-and-out Put eingesetzt würde. Die Zahlungen an den Anleihegläubiger in TNKA für den Fall τ> T NKA ließen sich dann durch ein Portfolio, bestehend aus δD Stück long down-and-out Heavisideoptionen mit Fälligkeit T NKA und Ausübungspreis αD, D(1–6) Stück long down-and-out Heavisideoptionen mit Fälligkeit T NKA und Ausübungspreis D und δ Stück short down-and-out Puts mit Fälligkeit T NKA und Ausübungspreis D, rekonstruieren.
Dies ergibt sich durch Aufzinsung der Ausgleichszahlung für den Zeitraum von r bis T ; hierbei heben sich die Exponentialterme jeweils weg und es verbleibt die feste Größe δαD.
Die Herleitung des Modellpreises für Eigenkapitaltitel ist vor allem dann sinnvoll, wenn das Modell implementiert werden soll und zur Schätzung der Parameter lediglich Aktienkurse jedoch keine Anleihekurse zur Verfügung stehen.
Durch die Verletzung der Rangfolge entsteht der Sprung in der Auszahlungsfunktion an den Fremdkapitalgeber in Abbildung 3.1.
Zum Beweis vgl. Anhang 3.2.
Für mögliche alternative Spezifizierungen von Credit Default Swaps vgl. Duffie (1999), Hohl und Liebig (1999, S. 506f.) oder ISDA (1999).
In der von der International Swaps and Derivatives Association veröffentlichten Musterbestätigung für Credit Default Swaps werden insgesamt acht verschiedene Kreditereignisse aufgeführt (vgl. ISDA (1999)). Theoretisch müsste der Zeitpunkt jedes dieser acht unterschiedlichen Kreditereignisse und, sofern als Ausgleichszahlung die Kompensation des durch ein Kreditereignis hervorgerufenen Marktwertrückgangs des Referenztitels vereinbart wird, deren jeweiligen Auswirkungen auf den Wert des Referenztitels separat modelliert werden. Insofern stellt die obige Modellierung des Kreditereignisses lediglich eine pragmatische Vereinfachung dar
Alternativ wäre auch eine einmalige Prämienzahlung an den Risikokäufer denkbar (upfront-payment). In diesem Fall würde es sich um eine Credit Default Option handeln. Beide Arten von Prämienzahlungen können jedoch leicht ineinander überführt werden (vgl. Schönbucher (2000a, S. 77)).
Hierdurch wird der Kontrakt zu einem so genannten Digital-Credit Default Swap. Zu alternativen Definitionen der Ausgleichszahlung vgl. Kapitel 4.4.1.1.
Ein möglicher Ausfall des Risikokäufers wird hier nicht modelliert. Zur Bewertung von Credit Default Swaps mit Kontrahentenausfallrisiko vgl. Kapitel 4.4.1.3 und Kapitel 5.3.2.4.2 sowie die dort zitierten Quellen.
Bei dem Summanden B1 handelt es sich gerade um den Wert in t = 0 von l Stück der down-and-in Optionen mit Fälligkeit Tcds. aus Ericsson und Reneby (1998) bzw. Reneby (1998). Der Summand B2 lässt sich darstellen als ein Portfolio, bestehend aus l Stück long down-and-out Heavisideoptionen mit Fälligkeit TNKA und Ausübungspreis αD und l Stück short down-and-out Heavisideoptionen mit Fälligkeit TNKA und Ausübungspreis D.
Betrachtet werden hier also CSO europäischen Typs.
Vgl. Hüttemann (1997, S. 37ff.). Diese Form einer Credit Spread Option wird beispielsweise in Longstaff und Schwartz (1995b) bewertet.
Vgl. Landry und Radeke (1999, S. 541f.). Eine derartige CSO kann auch als Option, eine bestimmte Anzahl von (ausfall-) risikolosen Nullkuponanleihen gegen eine ausfallbedrohte Nullkuponanleihe im Fälligkeitszeitpunkt der CSO zu tauschen, interpretiert werden (vgl. Schönbucher (2000a, S. 87)). Da der Preis der Anleihe in SSO auch noch von der Entwicklung des risikolosen Zinssatzes abhängt, wäre der Ausübungspreis der CSO in einem Modell mit stochastischer Zinsstrukturentwicklung bei Vertragsabschluss in t = 0 eine unsichere Größe (val. Das (1995. S. 10)).
Betrachtet werden hier jeweils diejenigen Formen einer CSO, die dem Optionskäufer Schutz vor Bonitätsverschlechterungen des Emittenten des Referenztitels bieten.
Vgl. zu diesem Ansatz beispielsweise Longstaffund Schwartz (1995b) oder Das und Sundaram (2000).
Ein möglicher Ausfall des Optionsverkäufers wird hier, ebenso wie nachfolgend in Kapitel 3.2.3.2, erneut nicht modelliert.
Im Fall (math) erhält der Anleihegläubiger im Zeitpunkt einen Betrag von δα(math) Wird dieser Betrag bis 7cSO aufgezinst, so ergibt sich rechnerisch in T CSO der folgende Spread: (math) Obige Annahme impliziert also, dass— (math).
Damit die Größe V* (T CSO ) eindeutig ist und somit über den nachfolgend beschriebenen Weg die Indikatorfunktion im ersten Erwartungswert verändert werden kann, wird die Eigenschaft der Monotonie des Bondpreises v(T CSO, T NKA) als Funktion des Unternehmenswertes V(TCSO, benötigt. Die Bestimmung des implizit als Lösung der Gleichung (3–18) definierten Wertes V* (TCSO,) erfolgt numerisch.
Aufgrund der hier getroffenen Annahme eines konstanten risikolosen Zinssatzes r und eines infolgedessen konstanten Ausübungspreises vs(T CSO , T NKA ) handelt es sich bei der zweiten Variante einer CSO tatsächlich gerade um eine gewöhnliche Verkaufsoption auf die Nullkuponanleihe v(t, T NKA ). Während in der Realität Credit Spread Options lediglich einen Schutz vor bonitätsinduzierten Wertverringerungen ausfallbedrohter Titel gewährleisten, kann durch Verkaufsoptionen auf diese Titel zusätzlich eine Absicherung auch vor zins- oder anderen marktpreisinduzierten Wertverringerungen erreicht werden. Dieser Unterschied zwischen den beiden Produktformen lässt sich jedoch aufgrund des in diesem Modell fehlenden Zinsänderungsrisikos nicht nachbilden und damit auch nicht bewerten (vgl. im Gegensatz hierzu die Bewertung von CSO in Kapitel 4.4.3).
Wie bei der zuvor betrachteten ersten Variante einer CSO wird also auch in diesem Fall eine Produktform bewertet, die dem Risikoverkäufer Schutz vor mit Bonitätsverschlechterungen einhergehenden Spreadausweitungen bietet.
Wird in den Bewertungsansatz (3–21) der CSO fir den Preis der Nullkuponanleihe v (T CSO , T NKA ) das zuvor in Kapitel 3.2.1 beschriebene Portfolio aus Basisoptionen eingesetzt, so wird deutlich, dass es sich bei der Bewertung von CSO letztlich um ein Compound Option-Problem, also um die Bewertung einer Option auf ein Portfolio von Optionen, handelt. Unter Ausnutzung dieses Zusammenhangs kann die numerische Auswertung des obigen Integrals vermieden und geschlossene Bewertungsformeln angegeben werden (vgl. hierzu Reneby (1998, S. 33ff.)).
Das gegenseitige Verhalten zweier Funktionen f(t) und g(t) bezüglich einer beliebigen Stelle t = a kann mit Hilfe der so genannten Landau-Symbole charakterisiert werden. Das Landau-Symbol o („klein o“) ist wie folgt definiert: (math) O. Dies bedeutet, dass die Funktion -►a f (t) für t -→ a schneller gegen null geht als die Funktion g(t) (vgl. Fahrmeir, Kaufmann und Ost (1981, S. 81), Bronstein, Semendjajew, Musiol und Mühlig (2001, S. 57f.)).
Vgl. Fahrmeir, Kaufmann und Ost (1981, S. 80ff.).
Vgl. Schönbucher (2000a, S. 69ff.) zu einem Modell, bei dem ein Unternehmen nach jeweils erfolgreicher Reorganisation mehrfach insolvent werden kann und daher auch die nachfolgenden Sprungzeitpunkte relevant sind.
Ist die Sprunghöhe der Pfade t→N*(t, ω) (ω ∈ Ω) nicht jeweils gleich eins, sondern ergeben sich die Sprunghöhen als Realisation einer Folge unabhängiger, identisch verteilter Zufallsvariablen γt (i ∈ ℕ), die unabhängig vom Zählprozess N(t) sind, so wird von einem bewerteten Poisson Prozess (compound poisson process) (math), gesprochen (vgl. Fahrmeir, Kaufmann und Ost (1981, S. 92)). Ein solcher Prozess kann verwendet werden, um neben den Ausfallzeitpunkten auch die zugehörigen Ausfallhöhen als zufällige Größen zu modellieren (vgl. Schönbucher (2000b, S. 39)).
Vgl. Snyder und Miller (1991, S. 341), Lando (1998b, S. 101), Schönbucher (2000a, S. 67). Hinsichtlich einer alternativen Definition des Cox Prozesses mit Hilfe eines stochastischen Zeitwechsels vgl. Lando (1998b, S. 102), Grandell (1976, S. 9ff.). Standardquellen zur Theorie und Anwendung allgemeiner Punktprozesse mit stochastischer Intensität sind beispielsweise Brémaud (1981) oder Daley und Vere-Jones (1988).
Ein inhomogener Poisson Prozess N(t) mit Intensitätsfunktion λ(t, ω) (ω ∈ Ω fest) besitzt unabhängige Zuwächse N(t + s) — N(t), die für s >_ 0 und n v ℕo wie folgt verteilt sind (vgl. Fahrmeir, Kaufmann und Ost (1981, S. 91)): (math)
Vgl. nachfolgend die Formeln (3–33) und (3–37).
Zur Idee der Einführung dieser beiden Arten von Sigma-Algebren im Zusammenhang mit Cox Prozessen vgl. Lando (1994, S. 93; 1998b, S. 103).
Vgl. Lando (1998b, S. 101f.), Schönbucher (2000a, S. 68).
Für zwei Sigma-Algebren F1 , Fz ∈ F gilt (vgl. Bauer (1991, S. 124(math). Das Gesetz der iterierten Erwartungen ist im Zusammenhang mit Cox Prozessen von zentraler Bedeutung (vgl. Lando (1994, Chapter 3; 1998) für zahlreiche Anwendungen).
Vgl. Lando (1998b, S. 101f.), Schönbucher (2000a, S. 68).
Wäre N(t) ein homogener Poisson Prozess mit konstanter Intensitätsrate λ, so implizierte die Beziehung (3–29), dass der Erstsprungzeitpunkt exponentialverteilt mit Parameter λ ist.
Vgl. Schönbucher (2000a, S. 99f.); siehe auch Kapitel 5.3.2.4.1.
Vgl. Kijima (2000b, Proposition 1, S. 8).
Vgl. Formel (3–1).
Vgl. beispielsweise den oben beschriebenen Ansatz von Schönbucher (2000a).
Vgl. Lando (1994, S. 87).
Vgl. Ammann (2001, S. 141), Bielecki und Rutkowski (2002, S. 259ff.) sowie die in Kapitel 2.2.2 vorgestellten hybriden Modelle.
Vgl. Ammann (2001, S. 146). Uhrig-Homburg (2001, S. 80) wählt diese Spezifizierung mit y =1 für die einperiodige risikoneutralisierte Ausfallwahrscheinlichkeit, wobei die Größe D durch eine kritische Ausfallgrenze VB ersetzt wird.
Der Verschuldungsgrad als Bilanzkennzahl ist definiert als Quotient aus dem Buchwert des Fremdkapitals und der Summe der Buchwerte von Fremd- und Eigenkapital. Im Modell von Merton (1974) ist die Größe De(`)/V(t) bei gegebener Laufzeit T neben der Volatilität o der zweite Einflussfaktor auf die Höhe des Spreads. Die Größe De(T`)/V(t), von Merton (1974) als „Quasi“-Verschuldungsgrad bezeichnet, stellt dabei eine obere Schranke des zu Marktwerten gemessenen Verschuldungsgrades dar.
Vgl. Madan und Unal (1998, S. 130).
Dies bedeutet, dass S(t), also der mit dem Geldmarktkonto diskontierte Eigenkapitalwert, unter dem äquivalenten Martingalmaß P ein Martingal ist (hierdurch ist das Wahrscheinlichkeitsmaß P gerade definiert) (vgl. Baxter und Rennie (1996, S. 79)).
Bei der Wahl des Intensitätsratenprozesses (3–37) ist die Integrierbarkeitsbedingung (3–25) aus Definition 3.1 verletzt. Da hier jedoch lediglich der erste Sprung des Cox Prozesses betrachtet wird, ist dies unproblematisch (vgl. Lando (1998b, S. 102)).
Vgl. Abbildung 3.5.
Vgl. Madan und Unal (1998, Theorem 1 (ii), Beweis zu Proposition 3, S. 128, S. 153ff.).
Vgl. Madan und Unal (1998, Beweis zu Proposition 3, S. 153ff.).
Im Programm Matlab werden implizite Differenzenverfahren zur numerischen Lösung partieller Ditterenzialgleichungen verwendet. Vgl. einführend zu impliziten Differenzenverfahren beispielsweise Seydel (2000).
Vgl. Jarrow, Lando und Turnbull (1997, S. 485f.).
Vgl. Duffie und Singleton (1999a, S. 701).
Zur Diskussion der Vor- und Nachteile der verschiedenen Ansätze zur Modellierung der Befriedigungszahlungen an die Gläubiger im Insolvenzfall vgl. Duffie und Singleton (1999a, S. 701 ff.), Schönbucher (2000c, S. 602ff.) sowie Uhrig-Homburg (2001, S. 46ff.). Die Befriedigungsquote ß kann auch jeweils eine stochastische Größe sein. Im Modell von Madan und Unal (1998) wird beispielsweise die Befriedigungsquote β als eine vom Eigenkapitalwert (und dem risikolosen Zinssatz) stochastisch unabhängige, betaverteilte Zufallsvariable modelliert. Diese Annahme wird auch im Kreditportfoliomodell CreditMetricsTM getroffen; die Parameter der Betaverteilung hangen bei CreditMetricsTM von der Rangstellung und der Besicherung des Titels ab (vgl. JP Morgan (1997, S. 80)).
Vgl. Duffie (1998a), Duffie und Singleton (1999a, S. 701), Jarrow und Turnbull (2000, S. 288ff.). Dies entspricht der gängigen Marktpraxis bei Ausfall eines Emittenten. Die Höhe der Befriedigungszahlung ist hierbei unabhängig von der Restlaufzeit des Titels oder der Höhe der bis zur Fälligkeit noch ausstehenden Kuponzahlungen (mit Ausnahme der aufgelaufenen Stückzinsen). Lediglich unterschiedliche Rangstellungen der Titel können zu unterschiedlichen Befriedigungszahlungen führen.
Vgl. Duffie und Singleton (1999a, S. 691f, S. 700ff.). Diese Befriedigungszahlung entspricht der ISDAMarktkonvention für OTC-Derivate (vgl. Schönbucher (2000c, S. 609)).
Vgl. Schönbucher (2000a, S. 33f). Diese Spezifikation entspricht im Wesentlichen der RMV-Annahme.
Zwar wird im hier beschriebenen hybriden Intensitätsansatz im Gegensatz zum vorangegangenen reinen Unternehmenswertansatz eine exogene Definition der Befriedigungszahlung festgelegt, mit der Wahl (math) kann jedoch trotzdem sichergestellt werden, dass der Anleihegläubiger im Insolvenzzeitpunkt zumindest nicht mehr erhält, als das Unternehmen zu diesem Zeitpunkt noch wert ist. Denn mit (math) ist V(t) ↘ K(t) gleichbedeutend damit, dass die Intensität λ(t) gegen unendlich und damit die Ausfallwahrscheinlichkeit gegen eins geht, das heißt, wenn es zu einem Ausfall kommt, ist der Unternehmenswert in jedem Fall nicht kleiner als der Schrankenwert K() und damit auch nicht kleiner als die Befriedigungszahlung (math) an den Anleihegläubiger. Da das Ereignis {αD <V(T NKA ) < D} nicht als Ausfall definiert wird und bei dieser Ausprägung des Unternehmenswertes auch nicht notwendigerweise ein Sprung des Cox Prozesses stattgefunden haben muss, ist es jedoch möglich, dass der Gläubiger im Fälligkeitszeitpunkt T NKA den Nominalwert D erhält, obwohl das Unternehmen weniger wert ist. Diese Möglichkeit lässt sich nur für a =1 ausschließen. Eine exogene Spezifikation der Ausgleichszahlung im Insolvenzfall gemäß (3–45) ist auch in reinen Unternehmenswertmodellen nicht unüblich (vgl. z.B. Longstaff und Schwartz (1995a, S. 794)).
Vgl. Lando (1994, S. 95). Die Konditionierung des Erwartungswertes bezüglich der Sigma-Algebra Ft ließe sich hierbei noch durch die kleinere Sigma-Algebra G ersetzen (vgl. Lando (1998b. S. 105)).
Im Gegensatz zum reinen Unternehmenswertmodell stellt ein unzureichender Unternehmenswert im Fälligkeitszeitpunkt T° in diesem Kapitel kein Kreditereignis mehr dar. Hierbei handelt es sich wieder um einen Spezialfall der in Kapitel 3.2.2 betrachteten Spezifikation, wenn a =1 oder TS < TN gewählt wird. Würde zur Modellierung der Befriedigungszahlung im Insolvenzfall die „Recovery-of-Face Value“Annahme mit der Befriedigungsquote β E [0,1] verwendet, so könnte eine Zahlung von l=1—β durch den Risikokäufer im Ausfallzeitpunkt τ als ein Ausgleich der Differenz zwischen dem Nominalwert und dem Marktwert der Nullkuponanleihe nach einem Kreditereignis interpretiert werden. (vgl. Schönbucher (2000c, S. 613)).
Vgl. Lando (1998b, S. 104ff.), Schönbucher (2000a, S. 78ff.).
Der Integrand sei annahmegemäß hinreichend regulär, so dass eine Vertauschung der Reihenfolge der Integration zulässig ist.
Der Wert V* (TCSO) ist wiederum numerisch durch Inversion der Formel (3–46) zu ermitteln.
Die Indikatorfunktion in der Formel (3–47) für den Spread S(T CSO ,T NKA ) ist auf eins zu setzen.
Im reinen Unternehmenswertmodell determiniert der Unternehmenswert auch die Höhe des Verlustes im Insolvenzfall.
Ist das Sprungrisiko unkorreliert mit dem Marktportfolio, so muss jedes Portfolio, in dem das Risiko des Diffusionsanteils des Unternehmenswertprozesses eliminiert wurde und in dem nur noch das Sprungrisiko enthalten ist, ein Beta von null aufweisen und damit bei Gültigkeit des CAPM eine erwartete Rendite in Höhe des risikolosen Zinssatzes besitzen, woraus sich die Bewertungsdifferenzialgleichung herleiten lässt. Die Annahme des unsystematischen Sprungrisikos scheint jedoch nicht unkritisch zu sein: Kim, Oh und Brooks (1994) stellen beispielsweise fest, dass auch in einem gut diversifizierten Aktienportfolio die Nullhypothese, dass die Intensitätsrate des Sprungprozesses gleich null ist mit hoher Wahrscheinlichkeit ab elehnt wird
g Cox und Ross (1976) leiten ihre Bewertungsformeln für europäische Kaufoptionen im Gegensatz zur damals üblichen Vorgehensweise nicht durch Lösung einer partiellen Differenzialgleichung her, sondern sie wenden erstmals das Prinzip der risikoneutralen Bewertung an. Cox und Ross (1976) stellten fest, dass die Bewertungsgleichungen für Derivate unabhängig von den Präferenzen der Marktteilnehmer sind, so dass zum Zwecke der Bewertung jede beliebige Präferenz, insbesondere die der Risikoneutralität, unterstellt werden kann. In einer risikoneutralen Welt jedoch muss die erwartete Rendite von Aktien und Optionen gleich dem risikolosen Zins sein, so dass sich der Wert der Option als diskontierter Erwartungswert der zukünftigen Zahlungen ergibt, wenn zuvor die Drift des Aktienrenditeprozesses gleich dem risikolosen Zins gesetzt wird. Harrison und Kreps (1979) und Harrison und Pliska (1981) stellten für dieses Bewertungskonzept später eine fundierte theoretische Basis bereit.
Präzise formuliert, verändert sich die Momentanunternehmenswertrendite dV/V (ebenso wie die Momentanaktienrendite bei Merton (1976)) im Falle eines Sprunges des homogenen Poisson Prozesses um die Größe Y-1, wobei die Zufallsvariable Ylognormalverteilt ist.
Als Begründung für die Verwendung eines Jump-Diffusion-Ansatzes zur Modellierung des Unternehmenswertes führt Zhou (2001) dieselben Argumente an wie Merton (1976) für den Aktienkurs: Der Diffusionsanteil des Prozesses beschreibt die „normalen“ Veränderungen des Unternehmenswertes infolge eines sich langsam verändernden ökonomischen Umfeldes, während der Sprunganteil starke Unternehmenswertänderungen innerhalb kürzester Zeit aufgrund des Eintreffens von besonders für das einzelne Unternehmen wichtigen Informationen modelliert.
Mittwird der Zeitpunkt kurz vor einem Sprung des Unternehmenswertes bezeichnet.
Vgl. die numerischen Beispiele in Kapitel 3.5.1.
Ein reales Beispiel, bei dem ein unvorhergesehenes Ereignis zur sofortigen Insolvenz des Unternehmens führte, stellen die Handelsverluste bei der Barings-Bank dar.
Vgl. Fahrmeir, Kaufmann und Ost (1981, S. 85).
Ein möglicher Ausfall im Fälligkeitszeitpunkt T NKA der ausfallbedrohten Nullkuponanleihe aufgrund eines unzureichenden Unternehmenswertes αD < V (T NKA ) < D wird, wie auch im hybriden Intensitätsmodell, hier nicht berücksichtigt. Die Erfassung eines derartigen Ausfalls bei der Bewertung der Nullkuponanleihe wäre aufgrund der unterstellten Unabhängigkeit zwischen dem Unternehmenswert V(t) und dem homogenen Poisson Prozess N(t) jedoch im Unternehmenswertmodell mit Sprung, im Gegensatz zum hybriden Intensitätsmodell, ohne weiteres möglich. Die hierfür benötigte gemeinsame Wahrscheinlichkeit, dass für den Unternehmenswert αD < V(T NKA ) < D und gleichzeitig v > T NKA und > T NKA gilt, ergibt sich aufgrund der Unabhängigkeit zu: (math) Aus Gründen der Vergleichbarkeit der Modelle in Kapitel 3.3 und 3.4 wird der Fall einer möglichen Insolvenz in T NKA jedoch auch im Unternehmenswertmodell mit Sprung nicht erfasst.
Da wie im hybriden Intensitätsmodell das Ereignis aD < V(T ) < D nicht als Ausfall definiert wird, besteht jedoch erneut die Möglichkeit, dass der Gläubiger im Fälligkeitszeitpunkt T NKA den Nominalwert D erhält, obwohl der Unternehmenswert kleiner als D ist.
Die Funktion F kann als Verteilungsfunktion einer Verlusthöhe L interpretiert werden, die das Unternehmen bei Eintritt eines Sprungereignisses, das mit konstanter Intensität λ stattfindet, zu tragen hat. Zur Insolvenz kommt es nur dann, wenn bei einem Sprungereignis die Verlusthöhe größer als die Differenz aus dem Unternehmenswert und dem Wert der Insolvenzschranke in diesem Zeitpunkt ist. Je höher der Unternehmenswert ist, desto niedriger ist die Wahrscheinlichkeit 1-F(V(t)-K(t)) hierfür und desto niedriger ist somit auch die Insolvenzwahrscheinlichkeit (vgl. Madan und Unal (2000)).
Damit wäre der homogene Poisson Prozess in einen Cox Prozess umgewandelt worden.
Im Gegensatz zu der Spezifizierung in Kapitel 3.3 gilt außerdem (math)me also nicht mit Sicherheit zu einem Sprung und damit zum Ausfall bei Erreichen der Schranke K(t).
Ein Vergleich dieses Bewertungsansatzes mit den durch die Formeln (3–14) (math) und (3–48) gegebenen Ansätzen macht deutlich, dass die Höhe der Prämien c(Tcds) in den drei Modellen lediglich aufgrund unterschiedlicher Ausfallwahrscheinlichkeiten voneinander abweichen können.
Da D der Nominalwert einer Nullkuponanleihe mit Fälligkeit TIKA ist, würde ohne die obige Laufzeitanpassung des Nominalwertes D der Verschuldungsgrad des Unternehmens im Zeitpunkt t = 0 mit zunehmender Laufzeit der emittierten Nullkuponanleihe geringer werden. Als Folge ergäben sich deutlich niedrigere Spreads als die in Abbildung 3.6 dargestellten Werte; der qualitative Verlauf der laufzeitabhängigen Spreadfunktionen bliebe jedoch unverändert.
Briys und de Varenne (1997, S. 245) stellen dagegen fest, dass bei Unternehmen mit niedrigem Verschuldungsgrad der Spread monoton steigend in der Laufzeit sei. Möglich ist jedoch auch, dass lediglich zu kurze Laufzeiten betrachtet wurden, so dass das Maximum der Spreadfunktionen bei niedrigen Verschuldungsgraden nicht beobachtet werden konnte.
Derartige laufzeitabhängige Spreadfunktionen ergeben sich auch in Unternehmenswertmodellen mit stochastischem und mit dem Unternehmenswert korreliertem risikolosem Zinssatz (vgl. Longstaffund Schwartz (1995a) (dort werden die Renditespreads von Kuponanleihen betrachtet) und Briys und de Varenne (1997)). Empirische Arbeiten lassen keinen eindeutigen Rückschluss auf das in der Realität zu beobachtende Verhältnis zwischen der Spreadhöhe und der Laufzeit zu: Die Arbeiten von Sarig und Warga (1989) (füir Renditespreads von Nullkuponanleihen) oder Bohn (1999b) (für Renditespreads von Kuponanleihen) bestätigen beispielsweise die oben beschriebenen qualitativen Verläufe, wohingegen Helwege und Turner (1999), unabhängig von der Verschuldungshöhe, lediglich mit der Laufzeit monoton steigende Spreads (für Renditen von Kuponanleihen) feststellen.
Von einem derartigen ambivalenten, vom Ausmaß der Verletzung der Rangfolge abhängigen Einfluss der Höhe der Insolvenzschranke auf den Spread berichten auch Briys und de Varenne (1997, S. 245).
Während jedoch im reinen Unternehmenswertmodell das Unternehmen genau dann insolvent ist, wenn es die Schranke berührt, ist im hybriden Intensitätsmodell ein die Insolvenz modellierender Sprung auch schon für Werte V(t) > K(t) möglich. Dafür kommt es im Fall aD < V(TN) < D im reinen Unternehmenswertmodell im F älligke.itszeitpunnkkt T A tzu eininem teilwrisen Ausfall, obwohl die X Olvenzschranke während der gesamten Laufzeit nicht erreicht wurde. Diese Möglichkeit wird im hybriden Intensitätsmodell nicht berücksichtigt. Daher sind die beiden Modellansätze nicht vollständig miteinander vergleichbar.
Da im Allgemeinen beobachtet wird, dass die Spreads, welche sich rechnerisch in Unternehmenswertmodellen ergeben, verglichen mit realen Spreads insbesondere für kurze Laufzeiten zu niedrig sind, dürfte der hybride Intensitätsansatz somit in der Praxis vorkommende absolute Spreadhöhen besser erklären. Dies gilt ebenso für den Unternehmenswertansatz mit Sprung.
In Intensitätsmodellen handelt es sich beim Ausfallzeitpunkt um eine völlig unvorhersehbare Stoppzeit, während in Unternehmenswertmodellen, aufgrund der Modellierung des Unternehmenswertes als Diffusionsprozess, der Ausfallzeitpunkt eine vorhersehbare Stoppzeit darstellt.
Mathematisch erklärt sich das abweichende Verhalten der Spreads für gegen null konvergierende Restlaufzeiten durch die unterschiedlichen Steigungen, die die Überlebenswahrscheinlichkeiten im Nullpunkt besitzen (vgl. Schönbucher (2000b, S. 20)). Während die Steigung der Überlebenswahrscheinlichkeitsfunktion (math) im hybriden Intensitätsmodell und im Unternehmenswertmodell mit Sprung von null verschieden ist, ergibt sich im reinen Unternehmenswertmodell ein Wert von null. Da, wie nachfolgend gezeigt wird, die Spreads für kurze Laufzeiten im Wesentlichen von der Steigung der Überlebenswahrscheinlichkeitsfunktion abhängen, konvergiert daher auch der Spread im hybriden Intensitätsmodell nicht gegen null. Für den Spread gilt gemäß Formel (3–47) für > t und unter Verwendung der Approximation 11 lnx&#x=x-1: (math)
Vgl. Abbildung 3.5.
Vgl. Formel (3–2).
Analog zum hybriden Intensitätsmodell lässt sich diese Eigenschaft der Spreads durch den infolge der Sprungkomponente jederzeit möglichen Ausfall des Unternehmens erklären.
Im Unternehmenswertmodell mit Sprung ist die Höhe des kurzfristigen Spreads gleich (1— aδ)λ (vgl. Fußnote 98 in diesem Kapitel).
Im Gegensatz zum reinen Unternehmenswertmodell tritt dieser Effekt im Unternehmenswertmodell mit Sprung jedoch erst ab einem „Quasi“-Verschuldungsgrad von c1 auf.
Diese Wahl impliziert auch, dass von zwei ansonsten identischen Unternehmen, die jeweils eine Nullkuponanleihe emittiert haben, deren Nominalwerte und Laufzeiten sich zwar unterscheiden, jedoch identische „Quasi“-Verschuldungsgrade zur Folge haben, dasjenige Unternehmen die höhere Ausfallintensität besitzt, das die Nullkuponanleihe mit der längeren Laufzeit und damit auch dem höheren Nominalwert emittiert hat.
Lediglich, wenn die Intensitätsrate sehr hoch gewählt wird und damit verbunden auch hohe Spreads generiert werden, kann der qualitative Verlauf der Spreadfunktion verändert werden. In dem Fall ist die Spreadfunktion monoton fallend in der Restlaufzeit.
Da im Untemehmenswertmodell mit Sprung eine zweite Insolvenzquelle existiert, deren Wahrscheinlichkeit über die Intensitätsrate λ gesteuert wird, ist die Ausfallwahrscheinlichkeit stets höher als die im reinen Unternehmenswertmodell.
Durch geeignet hohe Wahl der Intensitätsrate λ kann im Untemehmenswertmodell mit Sprung, ebenso wie im hybriden Intensitätsmodell durch Steuerung des Parameters c, also der empirisch beobachtete Defekt von reinen Unemehmenswertmodellen behoben werden, dass die vom Modell generierten Spreads für realistische Verschuldungsgrade und Volatilitäten im Vergleich zur Realität zu niedrig sind (vgl. z.B. Jones, Mason und Rosenfeld (1984), Kim, Ramaswamy und Sundaresan (1993)).
Eine Ausnahme bildet wiederum der Spezialfall a =1. In diesem Fall nähern sich die laufzeitabhängigen Spreads des Untemehmenswertmodells mit Sprung für λ -→ 0 von oben denen des reinen Unternehmenswertmodells an und sind für λ = 0 identisch. Dieses Verhalten der laufzeitabhängigen Spreads war auch im hybriden Intensitätsmodell für c -→ 0 zu beobachten, jedoch ergab sich für c = 0 ein für alle Laufzeiten konstanter Spread von null.
Die Höhe des Spreads für σ-= 0 kann erneut über Formel (3–71) bestimmt werden, wenn anstelle von λσ-∞ der entsprechende Wert für λ eingesetzt wird.
Es wird wie üblich davon ausgegangen, dass V(0) > K(0) gilt, also das Unternehmen im Zeitpunkt t = 0 noch nicht ausgefallen ist.
Die Spreadhöhe für r ist wiederum durch Formel (3–71) gegeben.
Zum Zwecke der besseren Vergleichbarkeit der Prämienhöhen in den drei Modellansätzen wird in den Beispielen jeweils a =1 gewählt. Hierdurch entfällt auch für Tcds = TN der Term B2 in der Formel (3–15) zur CDS-Prämie im reinen Untemehmenswertmodell, der eine Ausgleichszahlung aufgrund des Kreditereignisses „unzureichender Unternehmenswert im Fälligkeitszeitpunkt TN der Nullkuponanleihe“, also α D < V (TN) < D, berücksichtigt. Ein derartiges Kreditereignis wird auch in den Formeln (3–49) im hybriden Intensitätsmodell bzw. (3–67) im Untemehmenswertmodell mit Sprung nicht erfasst.
Vgl. Abbildung 3.6. Die (annualisierte) CDS-Prämie entspricht näherungsweise dem Spread zwischen den Renditen einer vom Referenzschuldner des CDS emittierten und zu pari notierenden Floating Rate Note und einer ansonsten identischen risikolosen Floating Rate Note. Hierbei muss angenommen werden, dass die Gläubiger der ausfallbedrohten Floating Rate Note im Insolvenzfall eine Befriedigungszahlung in Höhe von l je 100 GE Nominalbetrag direkt im Insolvenzzeitpunkt erhalten. Vgl. ausführlich hierzu Duffe (1999) und Schönbucher (2000a, S. 84f.) sowie Kapitel 4.4.4.
Die Berechnung des Integrals in Formel (3–49) erfolgt durch Anwendung der Simpson-Regel mit einer Schrittweite von 0.002.
Dieses Merkmal der CDS-Prämien korrespondiert mit den nicht gegen null konvergierenden Spreads für kurze Laufzeiten im hybriden Intensitätsmodell.
Für die prozentuale Differenz der CDS-Prämien im hybriden Intensitätsmodell und im reinen Unternehmenswertmodell ergibt sich ein entsprechendes Bild, so dass auf die Darstellung verzichtet wird.
lm reinen Unternehmenswertmodell gilt dies nur für a =1 ; für 0 <_ a < 1 ist noch eine zweite endogene Befriedigungszahlung im Fälligkeitszeitpunkt der Nullkuponanleihe möglich.
Vgl. Musiela und Rutkowski (1997, S. 470).
Zur Idee der Verwendung dieser Transformation vgl. Reneby (1998, S. 77) bzw. Ericsson (2000, S. 33).
Der Operator E7[.] bezeichnet den bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes P berechneten und hinsichtlich der Sigma-Algebra Ft bedingten Erwartungswert.
Vgl. Ericsson (2000, S. 32f), Ericsson und Reneby (1998), Lemma 7, S. 160f).
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Grundke, P. (2003). Bewertung von bonitätssensitiven Finanztiteln in Unternehmenswert- und Intensitätsmodellen — Ein Vergleich. In: Modellierung und Bewertung von Kreditrisiken. Beiträge zur betriebswirtschaftlichen Forschung, vol 105. Deutscher Universitätsverlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-322-97847-9_3
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