Zusammenfassung
Bevor wir uns nun den theoretischen Modellen zur Erklärung der Veränderungen der Zinsstruktur im Zeitablauf zuwenden, sollen zur Vermeidung von Unklarheiten zunächst einige Begriffe, die für die gesamte Arbeit von zentraler Bedeutung sind, abgegrenzt werden.
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Literatur
Über die Beziehung man sofort das diskrete Äquivalent des stetigen Zinssatzes. Vgl. z.B. Uhlir/Steiner (1991), S. 1 Of.
Vgl. zu dieser und den folgenden Definitionen z.B. Vasicek/Fong (1982), S.341, Brüning (1990), S.6f, Bußmann (1989), S.116f.
Vgl. z.B. Ho (1990), Kap.3, Uhlir/Steiner (1991), S.20ff, Buse (1970), S.809ff, Caks (1977), S. 103ff.
Diese Unterscheidung ist insbesondere für die Analyse des Modells von Heath/Jarrow/Morton (1990) erforderlich.
A gibt in einem zeit-diskreten Modell mit äquidistanten Zeitpunkten das zwischen zwei aufeinand-erfolgenden Zeitpunkten liegende Intervall an.
Diese Annahme wird in den zeitstetigen Versionen der Modellvarianten von Heath/Jarrow/Morton (1990) aufgegeben.
Für die eindeutige Existenz eines Martingalmaßes in einem Binomialmodell muß darüber hinaus noch mindestens ein Wertpapier existieren, dessen Laufzeit über den Modellhorizont hinausreicht. Vgl. hierzu auch Abschnitt II.2.1.3.
Diese Unterteilung muß nicht notwendigerweise in gleichlange Perioden erfolgen. Vgl. Ho/Stapleton/ Subrahmanyam (1993b), S.9ff. In der vorliegenden Arbeit werden jedoch ausschließlich äquidistante Unterteilungen betrachtet.
Eine Definition für multinomiale Bäume findet sich beispielsweise bei Li (1992), S.3.
Bei Pfadabhängigkeit läßt sich in der Regel aus dem Wert der stochastischen Variable zu einem bestimmten Zeitpunkt t auf deren Vergangenheit schließen, d.h. auf die Sequenz von Auf- und Abwärtsbewegungen bis zu diesem Zeitpunkt. Dies bedeutet jedoch nicht zwangsläufig, daß die so modellierte Zufallsvariable die Markov-Eigenschaft nicht besitzt. Dies ist nur dann der Fall, wenn aus der Vergangenheit Informationen über das stochastische Verhalten in der Zukunft gewonnen werden können. Vgl. hierzu z.B. Hull (1993), S.401f.
Der Rechenaufwand eines Modells hängt nicht zuletzt von dessen Rechenvorschriften ab. Bei dem Modell von Ho/Lee (1986) z.B. kann die gesamte Zinsstruktur in einem bestimmten Knoten durch wenige Rechenoperationen ermittelt werden, während bei dem Modell von Ritchken/Sankarasubramani-an (1990) die Zinstruktur über einen zeitaufwendigen Algorithmus bestimmt werden muß.
Man spricht von präferenzfreier Bewertung, wenn die Risikohaltung eines Investors keine explizite Berücksichtigung, z.B. in Form einer Nutzenfunktion, findet.
Eine ausführliche Darstellung des Existenzbeweises und der Konstruktion eines äqivalenten Martingalmaßes in mehrperiodigen Modellen findet sich z.B. bei Pedersen/Shui/Thorlacius (1989), S.236ff. Vgl. hierzu z.B. Harrison/Kreps (1979), S.381–408, Harrison/Pliska (1981), S.251–260, Brennan (1979), S.53–68, Dothan (1990), S.74ff, Jarrow (1988), S.162ff.
Vgl. z.B. Dothan (1990), S.23ff für den einperiodigen Fall und S.74ff für mehrperiodige Modelle. Ein Markt ist (dynamisch) vollständig, wenn sich durch beliebige Handelsstrategien in den am Markt befindlichen Wertpapieren für jeden Zustand ein sogenanntes Arrow-Debreu-Wertpapier konstruieren läßt. Ein solches Wertpapier wirft nur in einem Zustand eine Zahlung ab. Hierzu darf die Anzahl der linear unabhängigen Wertpapiere im Modell in jedem einzelnen Knoten des Baumes die Anzahl der von dem jeweiligen Knoten aus verzweigenden Äste (darauffolgenden Zustände) nicht unterschreiten. In einem Binomialmodell benötigt man beispielsweise zwei verschiedene Wertpapiere, die mindestens bis zum Ende des Modellzeitraumes existieren, um den gesamten Zustandsraum dynamisch aufzuspannen. Eine mathematisch rigorose Formulierung des Konzeptes dynamisch vollständiger Märkte findet sich z.B. bei Huang/Litzenberger (1988), Kapitel 7 und 8.
Vgl. Jensen/Nielsen (1992), S.2 und Heath/Jarrow/Morton (1990), S.422.
Vgl. Ho/Lee (1986), S. 1017. Ein Beweis findet sich ebenfalls dort, im Appendix A.
D(t;T) stellt eine Zufallsvariable mit Realisation D(s,t;T) dar.
Da bei Zerobonds keine Stückzinsen anfallen, sind hier Terminkurs und Terminpreis identisch.
Z.B. Cox/Ingersoll/Ross (1985), Vasicek (1977), Richard (1978), Brennan/Schwartz (1982), Longstaff (1989), Longstaff/Schwartz (1992), u.a. Vgl. hierzu auch Haverkamp (1993), S.55ff.
Ritchken/Sankarasubramanian (1990), S.445, verwenden die Bezeichnung “Term-Structure-Con-strained”. Ho/Lee (1986), S.1016, nennen ihr Modell “Arbitrage-Free-Rate-Movements”. Bei Hull (1993), S.398, findet sich der Begriff “No-Arbitrage-Models”.
Vgl. Jensen/Nielsen (1992), Gleichung (3.2), S.3.
Vgl. auch die Ausführungen zur Abhängigkeit der Dynamik der Zerobondpreise von der Stochastik des Einperioden-Zinssatzes in Abschnitt II2.2.6.
Beziehung (9) entspricht der “Local Expectations Hypothesis” in einer risikoneutralen Welt. Vgl. z.B. Ingersoll (1987), Kapitel 18.
Der Index D zeigt an, daß sich die Störfunktionen auf Zerobondpreise beziehen. Hier werden die Störfunktionen zunächst allgemein zustandsabhängig eingeführt.
Vgl. Ho/Lee (1986), S. 1018.
Gleichung (13) und (14) ergeben sich durch rekursives Einsetzen von (11) und (10).
In obiger Schreibweise gelten diese Beziehungen für die Darstellung der Modelle in Zerobondpreisen, für die beiden alternativen Darstellungsweisen, in Zinssätzen bzw. Forward-Rates, lassen sich diese Gleichungen jedoch einfach umformulieren. Vgl. hierzu insbesondere die nachfolgende Darstellung des Modells von Heath/Jarrow/Morton (1990) (Abschnitt II.4) und des Mehr-Faktoren-Modells (Abschnitt 115).
Vgl. die nachfolgenden Ausführungen in Abschnitt II.3.1 dieser Arbeit.
Vgl. Abschnitt II.3.3 dieser Arbeit.
Vgl. hierzu den nachfolgenden Abschnitt II.2.2.5.
Diese obere Schranke, auch Grenzwertfunktion genannt, schließt negative Zinssätze im Modell aus. Vgl. ebenfalls Abschnitt II.3.3 dieser Arbeit.
Sind die Störftinktionen in den einzelnen Knoten, wie etwa bei Ritchken/Sankarasubramanian (1990), nur rekursiv bestimmbar, gelingt es nicht, (16) in einer relativ einfachen Form darzustellen, während dies bei Ho/Lee (1986) keine größeren Schwierigkeiten bereitet.
Vgl. Ritchken/Sankarasubramanian (1990), S.445f.
Jensen/Nielsen (1991, 1992).
Zur Abgrenzung gegenüber den im vorangegangenen Abschnitt eingeführten “Störfunktionen” werden die von Jensen/Nielsen vorgeschlagenen Funktionen “Shiftfunktionen” genannt.
Vgl. die nachfolgenden Ausführungen zur Monotonie-Eigenschaft von Binomialmodellen.
Vgl. Gleichung (4.7) bei Jensen/Nielsen (1992), S.8.
Ritchken/Sankarasubramanian (1990), S.446, weisen daraufhin, daß es zur vollständigen Spezifizierung eines arbitrage-orientierten Binomialmodells zur Zinsstruktur genügt, die Preisrelationen zwischen einperiodigen Zerobonds und die Martingalwahrscheinlichkeiten in allen Knoten festzulegen. Vgl. hierzu auch Jensen/Nielsen (1992), S.7.
Siehe Jensen/Nielsen (1992), S.7. Vgl. hierzu auch Ritchken/Sankarasubramanian (1990), S.446.
Dies entspricht Gleichung (4.3) i.V.m. (4.1) bei Jensen/Nielsen (1992).
Das bedeutet, daß die Preisrelationen zwischen Zerobonds beliebiger Fälligkeit in benachbarten Knoten, (s, t) und (s+l,t), ausschließlich von den Preisrelationen der einperiodigen Zerobonds abhängen. Dabei sind nur die Preisrelationen zwischen denjenigen Knoten relevant, die bis zum Fälligkeitstermin von den Knoten (s,t) und (s+l,t) aus erreichbar sind.
Siehe Jensen/Nielsen (1992), S.7.
Vgl. hierzu auch die Ausführungen zur Mean-Reversion-Eigenschaft im Modell von Ritchken/Sankarasubramanian (1990) auf S.40f. der vorliegenden Arbeit.
In Abb. 4 wurde zur Berechnung der Veränderungen der Diskontfunktion das Modell von Ho/Lee (1986) unterstellt. Vgl. hierzu Abschnitt II.3.1 dieser Arbeit.
Zur Herleitung vgl. Abschnitt II.3.4.3 dieser Arbeit.
In Abschnitt II.3.4.3 wird dieser Term näher untersucht. Vereinfachend läßt sich sagen, daßx(s,t, A) bei einer relativ flachen Zinsstruktur die Drift bestimmt, aber auch in diesem Fall sehr kleine Werte annimmt.
Vgl. hierzu auch Abschnitt II.2.2.2 dieser Arbeit.
Vgl. Fußnote 57 i.V.m. Abb. 17 dieser Arbeit.
Vgl. Abb. 17 dieser Arbeit.
Vgl. Abschnitt II.3.5 dieser Arbeit.
Vgl. Jensen/Nielsen (1992), S.15ff.
Zur Herleitung vgl. Ho/Lee (1986), S.1018f. Der Wert von δ liegt in der Regel sehr nahe bei eins. Vgl. die empirischen Ergebnisse von Ho/Lee (1990), S.360.
Die bedingte Varianz des Einperioden-Zinssatzes unter dem Wahrscheinlichkeitsmaß II ergibt sich mit (36) gemäß Vgl. hierzu auch die Abstände der Knoten in Abb. 8. In Abb. 18 wird die bedingte Volatilität des Einperioden-Zinssatzes in den Modellen von Ho/Lee (1986) und Ritchken/Sankarasubramanian (1990) anhand eines numerischen Beispiels verglichen.
Vgl. hierzu auch Ho/Lee (1990), S.350f.
Vgl. Ho/Lee (1986), Gleichung (23) auf S.1020.
Vgl. Ritchken/Boenawan (1990), S.261f.
Vgl. Gleichung (6) bei Ritchken/Boenawan (1990).
Vgl. Gleichung (24) bei Ho/Lee (1986), S.1020.
Vgl. Gleichung (4.2) bei Pedersen/Shui/Thorlacius (1989), S.249.
Vgl. Gleichung (4.15) bei Pedersen/Shui/Thorlacius (1989), S.255.
Vgl. Pedersen/Shui/Thorlacius (1989), S.250. Man beachte, aufgrund der Konvention
Dabei hängt der Preis nur von den Martingalwahrscheinlichkeiten bis zum Zeitpunkt t ab. Vgl. Pedersen/Shui/Thorlacius (1989), S.254
Vgl. Gleichung (4.14) bei Pedersen/Shui/Thorlacius (1989), S.254.
Der Beweis findet sich bei Pedersen/Shui/Thorlacius (1989), S.252.
Vgl. Gleichung (8) dieser Arbeit.
Vgl. Pedersen/Shui/Thorlacius (1989), S.252f und Jensen/Nielsen (1992), S.16f.
Vgl. Pedersen/Shui/Thorlacius (1989), S.256–261.
Vgl. Abb. 9 bei Pedersen/Shui/Thorlacius (1989), S.257.
Dies wird bei Pedersen/Shui/Thorlacius (1989) auf S.251 gezeigt.
Im Original “Bounding-Function”. Vgl. Ritchken/Sankarasubramanian (1990), S.447.
Vgl. Ritchken/Sankarasubramanian (1990), S.446f.
Ritchken/Sankarasubramanian behaupten, daß für β =0 das Ho/Lee-Modell aus ihrem Modell hervorgeht. Dies stimmt jedoch nur dann, wenn die im folgenden noch zu erläuternde Grenzwert-Funktion für die Einperioden-Zinssätze linear in der Terminzinsstruktur des Ursprungs ist. Vgl. Ritchken/-Sankarasubramanian (1990), S.447 und die Ausführungen in Abschnitt II.3.4.3 dieser Arbeit.
Eine ausführliche Diskussion der Mean-Reversion-Eigenschaft und des Einflusses der Grenzwert-Funktion erfolgt in Abschnitt II.3.4.3 dieser Arbeit.
Vgl. Ritchken/Sankarasubramanian (1990), S.447ff.
Vgl. die Definition auf S. 12 dieser Arbeit.
Dies folgt aus der “terminal condition” (9).
Das Modell von Pedersen/Shui/Thorlacius erlaubt grundsätzlich zeitabhängige Martingalwahrschein- lichkeiten. Da aber die Autoren hierfür keine funktionale Beziehung angeben und in ihrem Beispiel selbst zeitunabhängige n verwenden, scheint diese Vereinfachung hier vertretbar.
Vgl. z.B. Hull (1991), S.354, Karlin/Taylor (1981), S.170ff, Arnold (1973), S.146.
θ muß nicht notwendigerweise eine Konstante sein, sondern kann selbst von anderen Variablen abhängen, wie z.B. von einem Langfrist-Zinssatz oder der Inflationsrate.
Mit (25) und (18) ergibt sich
Die Berechnung der Grenzwert-Funktion erfolgt wie in (46) beschrieben, wobei hier t = 5 Jahre gewählt wurde.
Dieses Beispiel gilt nur aufgrund der expliziten Berücksichtigung der Grenzwert-Funktion nicht für das Modell von Pedersen/Shui/Thorlacius. Der Unterschied ist jedoch vernachlässigbar.
Hierbei wurden folgende Parameterwerte verwendet: r=0.1%, t0304 = 11, α =20 und β = 1.4602045, so daß δ=0.9868.
Vgl. hierzu das Zahlenbeispiel in Abb. 14 dieser Arbeit.
Vgl. S.34ff dieser Arbeit.
Zur Vergleichbarkeit der Modelle erfolgt deren Berechnung gemäß der auf S.34ff dieser Arbeit beschriebenen Vorgehensweise unter Verwendung der folgenden Parameterwerte: r=0.1%, t0304 = 11, α =20 und β = 1.4602045. Somit ergibt sich δ =0.9868.
Alternativ wäre z.B. folgende Spezifikation möglich, (MATH) die die vertikale Shiftfunktion in Abhängigkeit von dem Niveau des Einperioden-Zinssatzes bestimmt und auf ähnliche Weise die Volatilität in den Extrembereichen des binomischen Gitters verringert, um hierdurch unrealistische Zinssätze zu vermeiden. Obige Festlegung (51) wird hier jedoch aus rechentechnischen Gründen bevorzugt.
Vgl. hierzu die Ausführungen zu Abb. 9 auf S.37 dieser Arbeit.
Siehe S.43 dieser Arbeit.
Beim Ho/Lee-Modell entspricht diese einem Wertebereich des Einperioden-Zinssatzes von 1.39% bis 18.73%, bei Ritchken/Sankarasubramanian 1.36% bis 18.70%, bei Pedersen/Shui/Thorlacius 1.41% bis 18.75% und im ZSM-Modell 1.38% bis 18.72%.
Vgl. die Ausführungen in Abschnitt II 3.4.1 dieser Arbeit.
Obwohl im Modell von Pedersen/Shui/Thorlacius (1989) keine Grenzwertfunktion definiert ist, fließt diese hier implizit mit ein, da wir der Einfachheit halber die für jeden Zeitpunkt einzeln zu spezifizierenden einperiodigen, vertikalen Shiftfunktionen mit den für das Modell von Ritchken/Sankarasubra-manian berechneten Werten gleichsetzen. Diese Vorgehensweise widerspricht nicht der Arbeit von Pedersen/Shui/Thorlacius (1989).
Hier zitiert nach Heath/Jarrow/Morton (1990), S.420. Vgl. auch Heath/Jarrow/Morton (1992).
Ein weiteres Zwei-Faktor-Modell, das aufgrund seiner Struktur jedoch nicht mit dem hier gewählten Modellrahmen darstellbar ist, findet sich bei Ho/Stapleton/Subrahmanyam (1993a, 1993b). Dieses Modell enthält zwei sich im Zeitablauf verändernde Faktoren und erlaubt die explizite Modellierung der Kovarianzstruktur der beiden Faktoren. Erste empirische Untersuchungen für den spanischen Markt finden sich bei Ho/Jara-Garcia (1992).
Vgl. Abschnitt II.2.1.2 der vorliegenden Arbeit.
Vgl. hierzu auch die Begriffsbestimmungen in Abschnitt II. 1.2 dieser Arbeit.
Vgl. z.B. Huang/Litzenberger (1988), S.226f.
Vgl. Heath/Jarrow/Morton (1990), S.425ff.
Vgl. hierzu auch Abschnitt II.2.2.1 dieser Arbeit.
Vgl. Gleichung (13) bei Heath/Jarrow/Morton (1990), S.427.
Vgl. Heath/Jarrow/Morton (1990), S.428.
Vgl. Heath/Jarrow/Morton (1990), S.428.
Vgl. Heath/Jarrow/Morton (1990), S.429.
Die Äquivalenz des Modells mit konstanter Volatilität zum Ho/Lee-Modell zeigen Heath/Jarrow/Morton (1990) auf S.427ff.
Vgl. hierzu auch die nachfolgenden numerischen Beispiele.
Dies entspricht Gleichung (24) bei Heath/Jarrow/Morton (1990), S.430.
Vgl. hierzu Gleichung (33) der vorliegenden Arbeit.
Vgl. Heath/Jarrow/Morton (1990), S.432.
Vgl. Heath/Jarrow/Morton (1990), S.431.
Vgl. Heath/Jarrow/Morton (1990), S.432.
Dies entspricht Gleichung (30) bei Heath/Jarrow/Morton (1990), S.432.
Da das Zwei-Faktoren-Modell sich additiv aus den beiden Ein-Faktor-Versionen ergibt, muß auch für dieses der Übergang zu einer zeitstetigen Formulierung existieren. Vgl. Heath/Jarrow/Morton (1990), S.433. In Heath/Jarrow/Morton (1992) werden die Existenzbedingungen für ein solches Modell formal hergeleitet.
Dies ist Gleichung (34) bei Heath/Jarrow/Morton (1990), S.434.
Eine ausführliche Herleitung dieses Ergebnisses findet sich bei Heath/Jarrow/Morton (1990), S.434f.
Vgl. Heath/Jarrow/Morton (1990), S.435f und die entsprechenden Ausführungen im empirischen Teil der vorliegenden Arbeit.
“... running times (on a 25 Mhz / 50 Mhz DX2 486 PC) required to price a five-year cap and a one x five-year European swaptionunder a path-dependend one-factor model. “ Heath/Jarrow/Morton/Spindel (1992), S.78. Interessanterweise machen Heath/Jarrow/Morton/Spindel an dieser Stelle auch Aussagen über die Rechengenauigkeit des Modells bei verschiedener Periodenwahl: Angegeben wird die prozentuale Abweichung der Resultate bei Verwendung von weniger als 12 Perioden gegenüber den Ergebnissen an, die man erhält, wenn man genau 12 Perioden verwendet. Dabei wird vorausgesetzt, daß diese 12-Perioden-Berechnungen exakt sind. Vgl. ebenda, S.78.
Vgl. Gleichung (5) bei Heath/Jarrow/Morton (1990).
Vgl. Abschnitt II.2.2.1 dieser Arbeit.
Ritchken/Boenawan (1990), S.261ff, zeigen, wie diese Bedingung für das Ho/Lee-Modell umgesetzt werden kann. Vgl. hierzu auch die Ausführungen auf S.28 dieser Arbeit.
Für m = 2 erhält man exakt die Formulierung der Arbitragefreiheitsbedingung bei Heath/ Jarrow/Morton (1990). Vgl. ebenda, Gleichung (28) auf S.431.
Vgl. hierzu auch Heath/Jarrow/Morton (1990), S.432.
Vgl. Heath/Jarrow/Morton (1990), S.429.
Für S = 1 muß dann beispielsweise gelten.
Für erhält man das pfadunabhängige Modell von Ho/Lee. Vgl. hierzu Heath/Jarrow/Morton (1990), S.429f i.V.m. 435f und die obigen Ausführungen zu dem Ein-Faktor-Modell mit konstanter Volatilität von Heath/Jarrow/Morton.
Die mit der Hauptkomponentenanalyse geschätzten Ladungen der Faktoren sind verfahrensbedingt orthogonal, und damit überschneidungsfrei. Die Parameter des Modells von Heath/Jarrow/Morton (1990) beispielsweise lassen sich deshalb nicht mit der Hauptkomponentenanalyse schätzen.
Dieser Punkt wird im folgenden Abschnitt ausgeführt. Insbesondere wird im Rahmen der numerischen Beispiele die Korrelationsmatrix der Forward-Rates für zwei unterschiedliche Parameterkonstallationen angegeben (siehe insb. Abb. 35).
Bedingte und unbedingte Varianz entsprechen einander, wenn nur eine Periode betrachtet wird. Da der Einfachheit halber risikoneutrales und objektives Wahrscheinlichkeitsmaß gleich gesetzt wurden, unterscheiden sind auch die einzelenen Momente unter den beiden Maßen nicht.
Zur Erinnerung, im Modell vonRitchken/Sankarasubramanian (1990) z.B. können (ausgehend von einer flachen Zinsstruktur im Zeitpunkt 0) oberhalb eines bestimmten Zinsniveaus nur inverse und unterhalb davon nur “normale” Zinsstrukturen auftreten. Das bedeutet, auf einem relativ niedrigen Niveau wären inverse Zinsstrukturen ausgeschlossen.
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Hess, D.E. (1995). Modelle zur Dynamik der Zinsstruktur. In: Die Dynamik der Zinsstruktur. Deutscher Universitätsverlag. https://doi.org/10.1007/978-3-322-97698-7_2
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