Das Lebesguesche Integral

Zusammenfassung

Der Satz 108.3 über die gliedweise Integration monoton konvergenter Funktionenfolgen hinterläßt einen höchst unbefriedigenden Eindruck, weil die Integrierbarkeit der Grenzfunktion sich nicht aus den Voraussetzungen ergibt, sondern ausdrücklich gefordert werden muß. Gleichzeitig weist er aber auch darauf hin, wie dieser Mangel in sehr natürlicher Weise durch eine angemessene Verallgemeinerung des Riemannschen Integralbegriffes behoben werden kann. Ist nämlich — mit den Bezeichnungen des Satzes 108.3 — die Grenzfunktion f nicht notwendig über [a,b] R-integrierbar, bleibt aber die wachsende Folge der Integrale $\int_{a}^{b}{{{f}_{n}}dx}$ unterhalb einer festen oberen Schranke (mit anderen Worten: ist sie konvergent), so können wir uns aus „Stetigkeitsgründen“ schwerlich der Versuchung erwehren, der Funktion f ein Integral durch die Festsetzung

$$\int_{a}^{b}{fdx}:=1im\int_{a}^{b}{{{f}_{n}}dx}$$

zuzuordnen. Satz 108.3 lehrt, daß dieses Integral mit dem Riemannschen übereinstimmt, falls f überhaupt R-integrierbar ist. Die vorliegende Nummer ist der präzisen Darstellung und Entfaltung dieses neuen Integralbegriffes gewidmet. Alle auftretenden Funktionen sind reell.

Mit Furcht und Schrecken wende ich mich ab von diesem beklagenswerten Übel der Funktionen ohne Ableitungen.

Charles Hermite

Vielen Mathematikern wurde ich der Mann der Funktionen ohne Ableitungen.

Henri Lebesgue