Zusammenfassung
Die Geometrie der Antike war die euklidische Geometrie, die über 2 000 Jahre lang die Mathematik beherrschte. Die berühmte Frage nach der Existenz nichteuklidischer Geometrien führte im 19. Jahrhundert zur Entwicklung einer Reihe von unterschiedlichen Geometrien. Daraus ergab sich das Problem der Klassifizierung von Geometrien. Der dreiundzwanzigjährige Felix Klein löste dieses Problem und zeigte im Jahre 1872 mit seinem Erlanger Programm, wie man Geometrien mit Hilfe der Gruppentheorie übersichtlich klassifizieren kann. Man benötigt dazu eine Gruppe G von Transformationen. Jede Eigenschaft oder Größe, die bei Anwendung von G invariant (d.h. unverändert) bleibt, ist eine Eigenschaft der zu G gehörigen Geometrie, die man auch G-Geometrie nennt. Von diesem Klassifizierungsprinzip werden wir in diesem Kapitel ständig Gebrauch machen. Wir wollen die Grundidee am Beispiel der euklidischen Geometrie und der Ähnlichkeitsgeometrie erläutern.
Wer die Geometrie versteht, der versteht alles in der Welt.
Galileo Galilei (1564–1642)
Geometrie ist die Invariantentheorie von Transformationsgruppen.
Felix Klein, Erlanger Programm 1872
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Literatur
Das Standardwerk der modernen Geometrie und ihrer Anwendungen in der Physik ist Dubrovin, Fomenko, Novikov (1987). Klassische Standardwerke zur Geometrie sind Hilbert (1899/1987) und Klein (1926/68).
Bär, G.: Geometrie. Eine Einführung in die analytische und konstruktive Geometrie. Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Stuttgart, Leipzig: Teubner-Verlag (in Vorbereitung).
Berger, M.: Geometry, Vols. 1, 2. Berlin: Springer-Verlag 1987.
Dubrovin, B., Fomenko, A., Novikov, S.: Modern Geometry, Vols. 1–3. Transi. from the Russian. New York: Springer-Verlag 1985–1995.
Hilbert, D.: Grundlagen der Geometrie. Mit Supplementen von P. Bernays. 13. Aufl. Stuttgart: TeubnerVerlag 1987. (Die erste Auflage dieses Klassikers erschien 1899.)
Klein, F.: Vorlesungen über höhere Geometrie. Berlin: Springer-Verlag 1926. Nachdruck der 3. Aufl. 1968.
Keller, O.: Analytische Geometrie und lineare Algebra. Berlin: Deutscher Verlag der Wissenschaften 1957 (mit zahlreichen Raumbildern).
Klein, F.: Das Erlanger Programm. Hrsg.: H. Wußing. Leipzig: Geest und Portig 1974.
Klein, F.: Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert, Bd. 1, 2. Berlin: Springer-Verlag 1926, 1927. Nachdruck 1979.
Adams, C.: Das Knotenbuch. Einführung in die mathematische Theorie der Knoten. Übers. a.d. Engl. Heidelberg: Spektrum 1995.
Barner, M.: Darstellende Geometrie. Begründet von U. Graf. 12. Aufl. Berlin: Springer-Verlag 1991. Boltjanski, V., Efremovic, V.: Anschauliche kombinatorische Topologie. Übers. a.d. Russ. Berlin: Deutscher Verlag der Wissenschaften 1986.
Coxeter, H.: Unvergängliche Geometrie. Übers. a.d. Engl. 2. Aufl. Basel: Birkhäuser 1981. Crantz, P., Hauptmann, M.: Ebene Trigonometrie. 11. Aufl. Leipzig: Teubner-Verlag 1962. Crantz, P., Hauptmann, M.: Sphärische Trigonometrie. B. Aufl. Leipzig: Teubner-Verlag 1962. Fucke, R., Kirch, K., Nickel, H.: Darstellende Geometrie. 15. Aufl. Leipzig: Fachbuchverlag 1992.
Gellert, W., u.a. (Hrsg.): Kleine Enzyklopädie Mathematik. 13. Aufl. Leipzig: Bibliographisches Institut 1986.
Klix, W., Nickel, H.: Darstellende Geometrie. Leipzig: Fachbuchverlag 1994.
Koecher, M., Krieg, A.: Ebene Geometrie. Berlin: Springer-Verlag 1993.
Lang, S., Murrow, G.: A High School Course. 2nd edition. New York: Springer-Verlag 1991. Livingstone, C.: Knotentheorie für Einsteiger. Übers. a.d. Engl. Wiesbaden: Vieweg 1995. Matthews, V.: Vermessungskunde, Bd. 1, 2. 27., 16. Aufl. Stuttgart: Teubner-Verlag 1993.
Als Einführung empfehlen wir Fischer (1985).
Bär, G.: Geometrie. Eine Einführung in die analytische und konstruktive Geometrie. Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Stuttgart, Leipzig: Teubner-Verlag (in Vorbereitung).
Berger, M.: Geometry, Vols. 1, 2. Berlin: Springer-Verlag 1987.
Brieskorn, E.: Lineare Algebra und analytische Geometrie, Bd. 1, 2. Wiesbaden: Vieweg 1983, 1985. Eisenreich, G.: Lineare Algebra und analytische Geometrie. 3. Aufl. Berlin: Akademie-Verlag 1991.
Fischer, G.: Analytische Geometrie. Wiesbaden: Vieweg 1985.
Klingenberg, W.: Lineare Algebra und Geometrie. 2. Aufl. Berlin: Springer-Verlag 1990.
Als Einführung empfehlen wir Fischer (1985).
Beutelsbacher, A., Rosenbaum, U.: Projektive Geometrie. Von den Grundlagen bis zur Anwendung. Wiesbaden: Vieweg 1992.
Coxeter, H.: Projective Geometry. 2nd edition. New York: Springer-Verlag 1995.
Fischer, G.: Analytische Geometrie. Wiesbaden: Vieweg 1985.
Als Einführung empfehlen wir Schöne (1990), do Carmo (1992) und Jost (1994), (1995). Standardwerke der modernen Differentialgeometrie sind Kobayashi, Nomizu (1963) und Dubrovin, Fomenko, Novikov (1985/1995). Man vergleiche auch die Literatur zu den Kapiteln 15 bis 19 im TEUBNERTASCHENBUCH der Mathematik, Teil I I.
Berger, M., Gostiaux, B.: Differential Geometry. Berlin: Springer-Verlag 1988.
Carmo, M.: Differentialgeometrie von Kurven und Flächen. Übers. a.d. Portug. Wiesbaden: Vieweg 1992.
Dubrovin, B., Fomenko, A., Novikov, S.: Modern Geometry, Vols. 1–3. Transl. from the Russian. New York: Springer-Verlag 1985–1995.
Guillemin, V., Pollack, A.: Differential Topology. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice Hall 1974. Isham, C.: Modern Differential Geometry for Physicists. Singapore: World Scientific 1993.
Jost, J.: Differentialgeometrie und Minimalflächen. Berlin: Springer-Verlag 1994.
Jost, J.: Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Berlin: Springer-Verlag 1995. Klingenberg, W.: Eine Vorlesung über Differentialgeometrie. Berlin: Springer-Verlag 1973.
Kobayashi, S., Nomizu, K.: Foundations of Differential Geometry, Vols. 1, 2. New York: Wiley 1963, 1965.
Schöne, W.: Differentialgeometrie. 5. Aufl. Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Leipzig: Teubner-Verlag 1990.
Struik, D.: Lectures on Classical Differential Geometry. 2nd edition. New York: Dover 1988.
Zeidler, E.: Nonlinear Functional Analysis and Its Applications, Vol. IV: Applications to Mathematical Physics. New York: Springer-Verlag 1988.
Brieskorn, E., Knörrer, H.: Ebene algebraische Kurven. Basel: Birkhäuser 1981.
Fischer, G.: Ebene algebraische Kurven. Wiesbaden: Vieweg 1994.
Hauser, W., Burau, W.: Integrale algebraischer Funktionen und ebene algebraische Kurven. Berlin: Deutscher Verlag der Wissenschaften 1958.
Rothe, R.: Höhere Mathematik, Bd. 1. 20. Aufl. Leipzig: Teubner-Verlag 1962 (ebene Kurven in der Technik).
Als Einführung in die Gedankenwelt der algebraischen Geometrie empfehlen wir Brieskorn, Knörrer (1981).
Das Standardwerk der modernen algebraischen Geometrie ist Hartshorn (1983). Hier wird von Beginn an mit Schemata gearbeitet. Ferner ist Eisenbud (1994) das Standardwerk für die Methoden der kommutativen Algebra in der algebraischen Geometrie.
Die klassische algebraische Geometrie findet man in van der Waerden (1973). Ein Leser, der die Wechselwirkung zwischen konkreten Beispielen und der Theorie der Schemata kennenlernen will, sollte zu Shafarevich (1994) greifen.
Brieskorn, E., Knörrer, H.: Ebene algebraische Kurven. Basel: Birkhäuser 1981.
Brodmann, M.: Algebraische Geometrie. Basel: Birkhäuser 1989.
Eisenbud, D.: Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Berlin: Springer-Verlag 1994.
Griffiths, P., Harris, J.: Principles of Algebraic Geometry. New York: Wiley 1978.
Hartshorne, R.: Algebraic Geometry. 3rd edition. New York: Springer-Verlag 1983.
Schafarewitsch, I.: Grundzüge der algebraischen Geometrie. Übers. a.d. Russ. Berlin: Deutscher Verlag der Wissenschaften 1972.
Shafarevich, I.: Basic Algebraic Geometry. Vol. 1: Varieties in Projective Space. Vol. 2: Schemes and Complex Manifolds. Transl. from the Russian. 2nd edition. Berlin: Springer-Verlag 1994.
Waerden, B., van der: Einführung in die algebraische Geometrie. 2. Aufl. Berlin: Springer-Verlag 1973.
Das Standardwerk ist Dubrovin, Fomenko, Novikov (1985). Man vergleiche auch die Literaturhinweise zu den Kapiteln 15 bis 19 im TEUBNER-TASCHENBUCH der Mathematik, Teil I I.
Abraham, R., Marsden, J.: Foundations of Mechanics. Reading, Massachusetts: Benjamin Company 1978.
Aebischer, B., u.a.: Symplectic Geometry. An Introduction. Basel: Birkhäuser 1994.
Benn, I., Tucker, R.: An Introduction to Spinors and Geometry with Applications in Physics. Bristol, England: Adam Hilger 1987.
Bredon, G.: Topology and Geometry. New York: Springer-Verlag 1993.
Constantinescu, F., de Groote, H.: Geometrische und algebraische Methoden der Physik: Supermannigfaltigkeiten und Virasoro-Algebren. Stuttgart: Teubner-Verlag 1994.
Donoghue, J., Golowich, E., Holstein, B.: Dynamics of the Standard Model (for Elementary Particles). Cambridge, England: Cambridge University Press 1992.
Dubrovin, B., Fomenko, A., Novikov, S.: Modern Geometry, Vols. 1–3. Transl. from the Russian. New York: Springer-Verlag 1985–1995.
Gilbert, J., Murray, M.: Clifford Algebras and Dirac Operators in Harmonic Analysis. Cambridge, England: Cambridge University Press 1991.
Green, M., Schwarz, J., Witten, E.: Superstrings, Vols. 1, 2. Cambridge, England: Cambridge University Press 1987.
Guillemin, V., Sternberg, S.: Symplectic Techniques in Physics. Cambridge, England: Cambridge University Press 1990.
Haag, R.: Local Quantum Physics. Fields, Particles, Algebras. Berlin: Springer-Verlag 1993.
Hofer, H., Zehnder, E.: Symplectic Invariants and Hamiltonian Dynamics. Basel: Birkhäuser 1994. Isham, C.: Modern Differential Geometry for Physicists. Singapore: World Scientific 1993.
Kaku, M.: Quantum Field Theorie. New York: Oxford University Press 1993.
Kauffman, L.: Knoten. Übers. a.d. Engl. Heidelberg: Spektrum 1995.
Knörrer, H.: Geometrie. Geometrische Anschauung auf hohem Niveau. Wiesbaden: Vieweg 1995. Kostrikin, A., Manin, Yu.: Lineare Algebra und Geometrie (russisch). Moskau: Nauka 1986.
Lawson, H., Michelsohn, M.: Spin Geometry. Princeton, New Jersey: Princeton University Press 1989. Lüst, D., Theissen, S.: Lectures on String Theory. New York: Springer-Verlag 1989.
Nakahara, M.: Geometry, Topology, and Physics. Bristol, England: Adam Hilger 1990.
Sattinger, D., Weaver, O.: Lie Groups and Algebras with Applications to Physics, Geometry, and Mechanics. 2nd edition. New York: Springer-Verlag 1990.
Sternberg, S.: Group Theory and Physics. Cambridge, England: Cambridge University Press 1994. Sternberg, S., Snider, S.: Quantum Groups. Cambridge, Massachusetts: International Press 1993. Straumann, N.: Allgemeine Relativitätstheorie und relativistische Astrophysik. 2. Aufl. Berlin: Springer-Verlag 1988.
Waerden, B., van der: Die gruppentheoretische Methode in der Quantenmechanik. Berlin: Springer-Verlag 1932 (ein Klassiker).
Ward, R., Wells, R.: Twistor Geometry. Cambridge, England: Cambridge University Press 1990.
Weyl, H.: Raum, Zeit, Materie. 8. Aufl. Berlin: Springer-Verlag 1993.
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Hackbusch, W., Schwarz, H.R., Zeidler, E. (2003). Geometrie. In: Zeidler, E. (eds) Teubner-Taschenbuch der Mathematik. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-322-96781-7_5
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