Schwache und lokalkonvexe Topologien

Zusammenfassung

Wir können unser Verständnis der Dualsysteme, der Operatorenkonjugation und der Struktur normierter Räume erheblich vertiefen, wenn wir uns der sogenannten schwachen Topologien bedienen. Der Grundgedanke hierbei ist von bestechender Einfachheit. Denken wir uns etwa ein Dualsystem (E,E ⁺) gegeben. Wir wissen dann, daß jedes x ⁺ ∈ E ⁺ eine Linearform auf E und jedes x ∈ E eine Linearform auf E ⁺ ist — und nun drängt sich wie von selbst die Frage auf, ob man nicht auf E und E ⁺ Topologien so einführen könne, daß die Linearformen x ⁺ und x bezüglich ebendieser Topologien stetig werden, ja noch mehr: daß E ⁺ gerade die Menge aller stetigen Linearformen auf E und E gerade die Menge aller stetigen Linearformen auf E ⁺ ist. Wenn dies möglich wäre, könnte man den ganzen Apparat der Topologie für das Studium der Dualsysteme und der von ihnen abhängigen Tatbestände nutzen, schon gelöste Fragen mit frischen (nämlich topologischen) Augen noch einmal betrachten — ja sogar völlig neue Probleme aufwerfen, Probleme, die überhaupt erst aus der Durchdringung linearer und topologischer Strukturen hervorgehen können.

Beim ersten Lesen kann dieses Kapitel ohne Schaden an Leib und Seele übersprungen werden.